Até agora havia um observador só. Agora entram dois — e a mesma pergunta passa a ter duas respostas certas. Traduzir entre elas custa um termo a mais, que aparece multiplicado por dois e que ninguém entende de primeira. Este módulo mostra de onde vem cada um dos dois.
Nos três módulos anteriores, "a velocidade do ponto P" era uma coisa só. Aqui não é mais. Um homem sobe a escada de um caminhão de bombeiros que avança e gira: para ele a escada está parada e ele sobe a 1 m/s; para quem está na calçada, ele descreve uma curva complicada. As duas descrições estão certas.
Dado o movimento de um ponto medido por um observador que gira, qual é o movimento medido por um observador parado? A resposta é uma regra de tradução — e ela sai, de novo, do Lema do Módulo 1.
Três palavras aparecem em todo enunciado da série, e vale fixá-las antes de qualquer conta:
| Termo | Significa | Pergunta que o define |
|---|---|---|
| relativo | medido pelo observador que se move junto | "o que eu vejo se estou em cima da coisa que gira?" |
| de arrastamento | o que o ponto teria se estivesse soldado ao referencial móvel | "e se ele parasse de se mexer em relação à plataforma, só sendo carregado por ela?" |
| absoluto | medido pelo observador parado | "o que a calçada vê?" |
E o \(\vec\omega\) da série é o vetor rotação do referencial móvel — a plataforma, a cabine, a escada, o triedro \(Oxyz\). É a quarta e última fantasia do mesmo teorema.
Cada seção tem um código (§3.1, V2, P-B). Me chame por ele. As caixas "Confira depois de tentar" escondem resultados — tente antes.
Tome um vetor qualquer \(\vec V\) e escreva-o na base do referencial móvel, \((\hat e_1,\hat e_2,\hat e_3)\):
$$\vec V = V_1\hat e_1 + V_2\hat e_2 + V_3\hat e_3$$Derive no referencial fixo, lembrando que ali os próprios versores estão girando:
$$\left.\frac{d\vec V}{dt}\right|_{\text{fixo}} = \underbrace{\sum_i \dot V_i\,\hat e_i}_{\text{(A)}} \;+\; \underbrace{\sum_i V_i\,\frac{d\hat e_i}{dt}}_{\text{(B)}}$$Os dois pedaços têm nomes:
Vale para qualquer vetor: posição, velocidade, e até o próprio \(\vec\omega\) de outro corpo. Não é uma fórmula de cinemática — é uma regra de derivação.
Repare no que ela significa fisicamente: um vetor pode estar parado para quem gira junto e mesmo assim ter derivada absoluta não nula. O ponteiro pintado na plataforma não muda nada em relação à plataforma, e mesmo assim está girando. A diferença entre as duas leituras é exatamente \(\vec\omega\wedge\vec V\).
O vetor dourado está pintado na plataforma: para quem gira com ela, ele não muda — a derivada relativa é o que você controla no segundo slider. A seta vermelha é a derivada absoluta, e ela continua existindo mesmo com a derivada relativa zerada. A diferença entre as duas é sempre \(\vec\omega\wedge\vec V\), a seta azul.
Seja \(O'\) a origem do referencial móvel. Quebre a posição em duas pernas e derive no fixo:
$$(P-O) = (P-O') + (O'-O)$$A segunda perna dá \(\vec v_{O'}\). Na primeira, aplique a regra de ouro:
$$\vec v_{\text{abs}} = \underbrace{\vec v_{O'} + \vec\omega\wedge(P-O')}_{\textstyle \vec v_{\text{arr}}} \;+\; \underbrace{\left.\frac{d(P-O')}{dt}\right|_{\text{rel}}}_{\textstyle \vec v_{\text{rel}}}$$E olhe a cara do \(\vec v_{\text{arr}}\): \(\vec v_{O'} + \vec\omega\wedge(P-O')\) é exatamente a fórmula fundamental do corpo rígido do Módulo 2. Não é coincidência. O arrastamento é a velocidade que \(P\) teria se estivesse soldado no referencial móvel — e um ponto soldado é um ponto de um corpo rígido.
Essa leitura resolve metade dos erros da série. Para calcular \(\vec v_{\text{arr}}\) você não olha o que o ponto está fazendo; você congela o movimento relativo, imagina o ponto colado na plataforma, e calcula a velocidade dele como ponto do corpo rígido "plataforma". Depois soma o que ele faz por cima disso.
Teste imediato: se o ponto é fixo no referencial móvel, então \(\vec v_{\text{rel}} = \vec 0\) e tudo é arrastamento. Se numa questão dessas você achou \(\vec v_{\text{rel}} \neq \vec 0\), errou a escolha do referencial ou a leitura do vínculo.
A formiga anda em linha reta sobre a régua vermelha — é isso que ela sente, e por isso a régua é o referencial móvel certo. O rastro dourado é o caminho que a calçada vê: uma espiral. Nenhum dos dois está errado. As três setas mostram a soma \(\vec v_{\text{abs}} = \vec v_{\text{arr}} + \vec v_{\text{rel}}\) fechando o triângulo.
Derive a velocidade absoluta mais uma vez, no fixo, com \(\vec\alpha = \dot{\vec\omega}\):
$$\vec a_{\text{abs}} = \vec a_{O'} + \vec\alpha\wedge(P-O') + \vec\omega\wedge\left.\frac{d(P-O')}{dt}\right|_{\text{fixo}} + \left.\frac{d\vec v_{\text{rel}}}{dt}\right|_{\text{fixo}}$$Faltam duas substituições, e cada uma solta um \(\vec\omega\wedge\vec v_{\text{rel}}\). Acompanhe as duas separadamente — é o coração do módulo:
Os dois efeitos são diferentes, são reais, e por acaso valem a mesma coisa. Somando:
Aquele 2 é a pergunta de prova favorita, e agora você sabe respondê-la: não é um fator de correção — são duas contribuições distintas, uma do ponto que escorrega pelo campo e outra da base que gira sob o vetor.
Ponha um ponto correndo radialmente numa plataforma que gira: \(P(t) = v_r t\,(\cos\omega t,\;\sin\omega t)\). Derive duas vezes em coordenadas cartesianas, sem teoria nenhuma. Compare com \(\vec a_{\text{arr}} + \vec a_{\text{rel}} + 2\vec\omega\wedge\vec v_{\text{rel}}\): bate exatamente, e some o 2 que você vai ver aparecer sozinho no meio da conta. Se tirar o fator 2, não fecha.
\(\vec a_{\text{cor}} = 2\,\vec\omega\wedge\vec v_{\text{rel}}\) é nulo em exatamente três situações, e todas aparecem na lista:
Antes de calcular o termo, cheque essas três. Vários itens da série ficam em uma linha.
A mesma formiga, agora com as acelerações. Zere a velocidade relativa e veja o termo de Coriolis desaparecer junto — não é aproximação, é o produto vetorial com o vetor nulo. Depois zere \(\omega\) e observe que sobra só o que a formiga faz por conta própria.
A teoria acabou no §3. O que separa quem resolve rápido de quem trava é uma decisão que se toma antes da primeira conta.
Escolha o referencial móvel em que o movimento relativo seja trivial — de preferência retilíneo, ou nulo. Se \(\vec v_{\text{rel}}\) ficou complicada, você escolheu errado: volte e escolha outro. Quase sempre o referencial certo é a peça sobre a qual o ponto desliza.
| Se o enunciado tem… | Referencial móvel | Movimento relativo fica | Ex. |
|---|---|---|---|
| um cursor ou anel deslizando numa barra | a barra | retilíneo, ao longo dela | L2-4.7, L2-4.8 |
| um homem subindo uma escada | a escada | retilíneo, \(\dot s(t)\) | L2-4.4 |
| um peso içado por um guindaste que gira | a cabine / a lança | vertical, velocidade \(v\) | L2-4.2 |
| um disco montado numa plataforma girante | a plataforma | rotação simples do disco | L2-4.3 |
| um triedro girando dentro de outro | o triedro intermediário | a segunda rotação, sozinha | L2-4.5, L2-4.6 |
| um disco rolando sob uma barra que transla | a barra | nulo no contato (não escorrega) | L2-4.1 |
Nos exercícios com duas rotações encaixadas (L2-4.5, L2-4.6), o que se pede muitas vezes é a aceleração angular absoluta. A tentação é derivar componente a componente e parar. Errado: \(\vec\omega\) é um vetor como outro qualquer, escrito numa base que gira. Aplique a regra de ouro nele:
$$\vec\alpha_{\text{abs}} = \left.\frac{d\vec\omega_{\text{abs}}}{dt}\right|_{\text{rel}} + \vec\Omega\wedge\vec\omega_{\text{abs}}$$onde \(\vec\Omega\) é a rotação da base em que você escreveu as componentes. O termo cruzado \(\vec\Omega\wedge\vec\omega\) é justamente o que produz componentes em direções que não apareciam no \(\vec\omega\) — e é onde quase todo mundo perde a questão.
→ Complementos: Por que as velocidades angulares somam se as rotações não comutam, e de onde vem o fator 2 pela regra do produto aplicada duas vezes a \(Q\vec a\): é o §C5 dos Complementos — abrir o §C5 →
O triedro \(Oxyz\) gira com \(\vec\Omega = \omega_1\vec k\); o plano \(AOB\) gira com \(\omega_2\) relativa a ele, em torno de \(Oy\). Logo \(\vec\omega_{\text{abs}} = \omega_2\vec\jmath + \omega_1\vec k\) — as duas rotações simplesmente somam.
Para \(\vec\alpha\), a derivada relativa das componentes dá \(\alpha_2\vec\jmath + \alpha_1\vec k\). Falta o termo cruzado:
$$\vec\Omega\wedge\vec\omega = \omega_1\vec k\wedge(\omega_2\vec\jmath+\omega_1\vec k) = -\,\omega_1\omega_2\,\vec\imath$$Somando: \(\;\vec\alpha_{\text{abs}} = -\omega_1\omega_2\,\vec\imath + \alpha_2\,\vec\jmath + \alpha_1\,\vec k\). Repare na componente em \(\vec\imath\): ela aparece mesmo com \(\omega_1\) e \(\omega_2\) constantes (\(\alpha_1=\alpha_2=0\)). Duas rotações constantes em eixos diferentes produzem aceleração angular. Esse é o fenômeno por trás do giroscópio.
| Padrão | Como reconhecer | O que costuma bastar | Cai em |
|---|---|---|---|
| P-A deslizamento numa peça |
cursor, anel, luva, homem na escada | Referencial = a peça. \(\vec v_{\text{rel}}\) ao longo dela; Coriolis quase sempre \(\neq 0\). | L2-4.4, 4.7, 4.8 |
| P-B içamento / rotação de base |
guindaste, plataforma, cabine | Arrastamento é rotação pura em torno do eixo vertical; relativa é simples. | L2-4.2, 4.3 |
| P-C rotações encaixadas |
triedro dentro de triedro, hélice em carcaça girante | \(\vec\omega\) soma; \(\vec\alpha\) não — precisa do termo \(\vec\Omega\wedge\vec\omega\) (§4.1). | L2-4.5, 4.6 |
| P-D sem escorregamento |
contato que não desliza, com o referencial numa peça móvel | \(\vec v_{\text{rel}} = \vec 0\) no contato ⇒ Coriolis nulo; volta a ser Módulo 3. | L2-4.1 |
Usar o \(\vec\omega\) errado. Na fórmula entra a rotação do referencial móvel. Se o ponto pertence a um disco que gira dentro de uma plataforma que gira, o \(\vec\omega\) do arrastamento e do Coriolis é o da plataforma.
Esquecer o fator 2. Agora você sabe que são duas origens (§3). Quem decora costuma escrever \(\vec\omega\wedge\vec v_{\text{rel}}\) sozinho.
Derivar \(\vec\omega\) sem a regra de ouro. O termo \(\vec\Omega\wedge\vec\omega\) não é opcional (§4.1).
Esquecer a centrípeta do arrastamento. \(\vec\omega\wedge[\vec\omega\wedge(P-O')]\) tem módulo \(\omega^2 r\) e aponta para o eixo. Some com \(\vec\alpha = 0\).
Coriolis é o assunto em que a intuição visual rende mais do que qualquer texto. Comece pelo primeiro.
Trajetória relativa e absoluta desenhadas lado a lado, com o ponto em movimento.
É a V2 desta página em versão oficial, com outros mecanismos. Vale ver antes de cada exercício.
purdue.edu/freeform/me274A dedução completa da regra de ouro e da decomposição da aceleração, em vídeo.
Ouvir a dedução do §3 por outra voz é o melhor teste de que o fator 2 realmente fez sentido.
ocw.mit.edu/courses/2-003scCapítulo de composição de movimentos, com a mesma notação de arrastamento/relativo da sua lista.
A nomenclatura "arrastamento" é da tradição francesa que o livro segue — e que o enunciado usa.
Bibliografia da disciplina.
Muitos exercícios de eixos rotativos, com respostas.
Use para repetir o padrão P-A até a escolha do referencial virar automática.
Bibliografia da disciplina.
Use os códigos: "não entendi o §3, segunda origem", "refaz o V3 com v_rel = 0", "aplica o P-C no L2-4.6", "me arguí sobre o §4.1".
Chegando aqui, as quatro séries se fecham numa frase só, a mesma do §0 do Módulo 1: um conjunto rígido de vetores só pode girar, e existe um único \(\vec\omega\) tal que \(\frac{d\vec u}{dt} = \vec\omega\wedge\vec u\).
| Série | Quem era o \(\vec\omega\) | O que ele gerou |
|---|---|---|
| #1 | o vetor de Darboux do triedro de Frenet | curvatura, torção, raio de curvatura |
| #2 | o vetor rotação do corpo rígido | \(\vec v_B = \vec v_A + \vec\omega\wedge(B-A)\), equiprojetividade |
| #3 | o mesmo, perpendicular ao plano | o CIR e os dezesseis mecanismos |
| #4 | a rotação do referencial móvel | arrastamento, e o \(2\vec\omega\wedge\vec v_{\text{rel}}\) |
Quatro fantasias, um teorema. Se você consegue contar essa história do começo ao fim, sem consultar nada, a Lista 2 está fechada — e você não decorou uma linha.