A Série 3 é quase metade da lista inteira. Guilhotina, tanque de guerra, quatro barras, discos dentro de discos — enunciados que não se parecem em nada. Todos caem no mesmo procedimento, e o procedimento cabe num ponto: aquele onde a velocidade é zero.
No Módulo 2, \(\vec\omega\) era um vetor livre no espaço: três componentes. Agora o movimento é plano — todo mundo anda no plano \(Oxy\) e nenhum ponto sobe ou desce.
Essa restrição é mais forte do que parece. Se o corpo girasse em torno de um eixo que não fosse perpendicular ao plano, algum ponto sairia do plano. Logo \(\vec\omega\) só pode apontar numa direção:
$$\vec\omega = \omega\,\vec k$$Três números viraram um. E daí sai a consequência que organiza esta série inteira:
Se \(\omega \neq 0\), existe exatamente um ponto do plano onde a velocidade é nula. Nesse instante, o corpo inteiro se comporta como se estivesse girando em torno desse ponto — como se houvesse um pino cravado ali.
Esse ponto é o centro instantâneo de rotação, o \(I\). Achar o \(I\) é resolver o exercício.
Você já viu esse ponto: é o anel vermelho da V2 do Módulo 2. Lá ele era uma curiosidade do campo de velocidades. Aqui ele vira método.
E o termo instantâneo carrega um aviso que custa nota em prova: o \(I\) vale naquele instante. No instante seguinte ele é outro ponto — do plano e do corpo. Ele serve para velocidades; para acelerações, quase tudo o que você quer que seja verdade é falso (§4).
Cada seção tem um código (§3.2, V2, P-C). Me chame por ele: "não entendi o §4.1", "refaz o V2 com ω maior", "aplica o P-C no L2-3.9". As caixas "Confira depois de tentar" escondem resultados — tente antes.
Queremos um ponto \(I\) com \(\vec v_I = \vec 0\). Pela fórmula fundamental do Módulo 2, escrita a partir de um ponto conhecido \(A\):
$$\vec 0 = \vec v_A + \vec\omega\wedge(I-A) \quad\Longleftrightarrow\quad \vec\omega\wedge(I-A) = -\vec v_A$$Isso é uma equação com produto vetorial, e o jeito de isolar \((I-A)\) é aplicar \(\vec\omega\,\wedge\) dos dois lados e usar a identidade BAC-CAB:
$$\vec\omega\wedge\big(\vec\omega\wedge(I-A)\big) = \vec\omega\,\underbrace{\big[\vec\omega\cdot(I-A)\big]}_{=\,0} - (I-A)\,\underbrace{(\vec\omega\cdot\vec\omega)}_{\omega^2}$$O primeiro termo morre porque \(\vec\omega\) é perpendicular ao plano e \((I-A)\) está dentro do plano — o produto escalar entre eles é zero. É aqui que a hipótese "movimento plano" entra e faz toda a diferença. Sobra
Repare no que a fórmula diz: \(I\) está na direção perpendicular a \(\vec v_A\) (é um produto vetorial com \(\vec v_A\)), a uma distância \(|\vec v_A|/\omega\) de \(A\). Rápido gira, perto está o centro.
→ Complementos: Existe uma segunda leitura desta fórmula: "o CIR existe" é a pergunta "o determinante do sistema é diferente de zero?", e o mesmo critério explica o eixo helicoidal em 3D e o ponto morto de um mecanismo — abrir o §C4 dos Complementos →
E se \(\omega = 0\)? A fórmula explode — corretamente. Sem rotação, o corpo translada, todos os pontos têm a mesma velocidade e nenhum está parado. Diz-se que o CIR "foi para o infinito". Não é força de expressão: é o limite literal da fórmula.
A fórmula é a prova. O método é geométrico, e sai de duas observações sobre o campo visto do \(I\). Tomando \(I\) como ponto-base (com \(\vec v_I = \vec 0\)):
$$\vec v_P = \vec\omega\wedge(P-I)$$Inverta a primeira: se você conhece a direção da velocidade de um ponto, o \(I\) está em algum lugar da reta perpendicular a essa velocidade passando pelo ponto. Duas direções conhecidas, duas retas — e o cruzamento é o \(I\).
Trace a perpendicular à velocidade de \(A\) passando por \(A\). Trace a perpendicular à velocidade de \(B\) passando por \(B\). Onde elas se cruzam está o \(I\). Se elas forem paralelas (não se cruzam), o corpo está em ato de movimento translatório naquele instante: \(\omega = 0\).
Note o que você não precisou saber: os módulos das velocidades. Só as direções. É por isso que o método funciona em enunciados onde quase nada é dado.
\(A\) só pode andar na horizontal, \(B\) só na vertical — isso já fixa as direções das duas velocidades. As perpendiculares tracejadas se cruzam no \(I\), e as setas sobre a barra abrem em leque a partir dele, crescendo com a distância. Mexa no ângulo e siga o rastro: o \(I\) percorre um arco de círculo.
O último painel do V1 guarda uma surpresa: \(|I-O|\) fica travado no comprimento da barra, não importa o ângulo. O \(I\) anda sobre um círculo — e esse lugar geométrico tem nome, base (ou curva polar fixa). Você não precisa dele para a Série 3, mas é bom saber que o CIR não pula aleatoriamente: ele desliza por uma curva.
"Rolar sem escorregar" aparece em onze dos dezesseis exercícios. A tradução cinemática é curta:
No ponto de contato, os dois corpos têm a mesma velocidade. Se um deles é o chão parado, então o ponto do disco que está tocando o chão tem velocidade zero — ou seja, o ponto de contato é o CIR do disco, achado sem traçar nada.
É contraintuitivo de primeira: o disco está claramente andando, como pode um ponto dele estar parado? Mas é o ponto que toca, e ele só toca por um instante. Escorregar é justamente ter velocidade relativa ali; não escorregar é não ter.
Com o CIR no contato, tudo o mais sai de \(|\vec v_P| = \omega\,|P-I|\):
| Ponto do disco (raio \(R\)) | Distância até o contato | Velocidade |
|---|---|---|
| o próprio contato | \(0\) | \(0\) |
| o centro | \(R\) | \(\omega R\) |
| o topo | \(2R\) | \(2\omega R\) — o dobro do centro |
| as laterais (altura do centro) | \(R\sqrt2\) | \(\omega R\sqrt 2\), a 45° |
Aquele \(2\omega R\) do topo é um fato físico real e verificável: no pneu de um carro a 100 km/h, o topo da banda de rodagem passa por você a 200 km/h e o ponto que toca o asfalto está, naquele instante, parado.
À esquerda, o disco rolando e o rastro do ponto da borda — a ciclóide, com bicos exatamente onde ele toca o chão (velocidade zero significa parada instantânea). À direita, a régua: o comprimento de cada seta é proporcional à altura, porque \(|\vec v| = \omega\,|P-I|\) e a distância até o contato cresce com a altura.
É o caso do L2-3.2 (a esteira do tanque) e de vários outros. A regra não muda — ela só fica mais literal: no contato, as velocidades dos dois corpos são iguais. Se a superfície de apoio está parada, a velocidade do contato é zero e o CIR está ali. Se a superfície se move, o contato tem a velocidade dela, e aí o CIR está em outro lugar — ache-o pelas perpendiculares.
Um caso que aparece muito: disco rolando dentro ou fora de uma circunferência fixa (L2-3.13, L2-3.14). A circunferência é fixa, então o contato é o CIR do disco. E o centro do disco anda num círculo em torno do centro fixo — o que amarra a rotação do disco à rotação da barra que liga os centros.
Disco de raio \(r\) rolando por fora da circunferência fixa de raio \(R\). O contato é o CIR, e o centro \(A\) está a uma distância \(r\) dele, logo \(|\vec v_A| = \omega_A\,r\).
Mas \(A\) também percorre um círculo de raio \(R+r\) em torno de \(O\), com a velocidade angular \(\Omega\) da barra: \(|\vec v_A| = \Omega\,(R+r)\).
Igualando: \(\;\Omega = \dfrac{r}{R+r}\,\omega_A\). É o item (a), e a conta toda foi "escrever a mesma velocidade de dois jeitos".
Para o disco de dentro, o mesmo raciocínio com \(R-r\) no lugar de \(R+r\) dá \(\;\omega_B = \dfrac{R-r}{R+r}\,\omega_A\). Note que se \(R = r\) o disco interno nem gira — vale conferir isso na figura, é um bom teste de que você entendeu.
Aqui mora a maioria dos exercícios, e aqui mora o erro mais caro da lista. Um mecanismo tem vários corpos rígidos, cada um com o seu próprio \(\omega\) e o seu próprio CIR. A fórmula fundamental não atravessa de um corpo para outro.
Usar o \(\omega\) do disco num ponto da barra. Ou achar "o CIR do mecanismo". Não existe CIR de mecanismo — existe um CIR por corpo rígido. Antes de escrever a primeira equação, desenhe um contorno em volta de cada peça e nomeie os \(\omega\) separadamente: \(\omega_d\) para o disco, \(\omega_b\) para a barra.
O que liga um corpo ao outro são os vínculos, e cada tipo entrega uma informação específica:
| Vínculo | O que ele te dá | Aparece em |
|---|---|---|
| Articulação / pino entre dois corpos | O ponto é o mesmo nos dois corpos: mesma velocidade e mesma aceleração. É a ponte principal. | quase todos |
| Luva, sapata ou cursor numa guia reta | A velocidade daquele ponto é paralela à guia. Direção conhecida, módulo não — perfeito para o método das perpendiculares. | L2-3.3, L2-3.10 |
| Contato sem escorregamento | Velocidades iguais no ponto de contato. Se um corpo é fixo, a velocidade ali é zero: CIR de graça. | L2-3.8, L2-3.9, L2-3.11, L2-3.15 |
| Extremidade arrastada sobre um trilho | Velocidade paralela ao trilho. | L2-3.4 |
| Apoio num eixo fixo | Velocidade nula naquele ponto — o CIR do corpo é o eixo, e o \(\omega\) sai direto. | L2-3.5, L2-3.7 |
Quando um corpo tem CIR conhecido e você quer só o módulo de uma velocidade, use \(|\vec v_P| = \omega\,|P-I|\) e leia a distância na figura. Vários itens da Série 3 pedem exatamente isso, e o aluno que monta produto vetorial gasta cinco vezes mais tempo para chegar no mesmo número.
Derivando a fórmula fundamental em relação ao tempo, com \(\vec\alpha = \dot{\vec\omega} = \alpha\vec k\), aparece o segundo termo que todo mundo esquece:
$$\vec a_P = \vec a_A + \vec\alpha\wedge(P-A) \;-\; \omega^2\,(P-A)$$Leia os três pedaços: a aceleração de arrastar o ponto-base, a parte tangencial (proporcional a \(\alpha\), perpendicular ao raio) e a parte centrípeta (proporcional a \(\omega^2\), apontando de \(P\) para \(A\)). A centrípeta sobrevive mesmo com \(\alpha = 0\) — girar com velocidade angular constante não significa aceleração nula.
O ponto material do corpo que está no CIR tem velocidade nula e aceleração diferente de zero. "Parado" ali é um retrato de um instante, não um estado: no instante seguinte aquele ponto já está se movendo, e para começar a se mover ele precisa de aceleração.
Consequência prática: nunca use o CIR como ponto-base numa conta de aceleração, a não ser que o exercício prove que \(\vec a_I = \vec 0\).
Disco de raio \(R\) rolando sem escorregar, com \(\omega\) e \(\alpha\) quaisquer. Tome o centro \(O\) como base: ele anda em linha reta, com \(\vec a_O = \alpha R\,\vec\imath\). Aplicando a fórmula no ponto de contato \(C\), os termos tangenciais se cancelam exatamente e sobra
$$\vec a_C = \omega^2 R\,\vec\jmath$$Ou seja: a aceleração do ponto de contato aponta para o centro do disco, tem módulo \(\omega^2R\), e não depende de \(\alpha\). O disco pode estar acelerando, freando ou em velocidade constante — dá o mesmo. Esse resultado sozinho resolve o item de aceleração de vários exercícios da série.
É isso que o L2-3.1(b) pede, e a conta é curta se você substituir \((I-A)\) pela fórmula do §1.1. Aplicando a fórmula da aceleração no ponto \(I\) e usando \(\vec\alpha = (\alpha/\omega)\,\vec\omega\):
$$\vec a_I = \vec a_A - \frac{\alpha}{\omega}\vec v_A - \vec\omega\wedge\vec v_A$$que se anula exatamente quando
$$\vec a_A = \frac{\alpha}{\omega}\,\vec v_A + \vec\omega\wedge\vec v_A$$É o enunciado do exercício. Note o que ele significa: \(\vec a_I = \vec 0\) é uma condição especial, não a regra — o exercício existe justamente para você perceber que, no caso geral, ela não vale.
O mesmo disco do V2, agora com as duas famílias de setas no mesmo desenho. No ponto de contato a seta azul de velocidade desaparece — e a seta vermelha de aceleração continua lá, apontando firme para o centro. Mexa em \(\alpha\): a aceleração do contato não muda, exatamente como o §4.1 prevê.
Dezesseis exercícios, quatro padrões. A maior parte é P-C — e P-C é P-A aplicado várias vezes seguidas.
| Padrão | Como reconhecer | O que fazer | Cai em |
|---|---|---|---|
| P-A CIR direto |
Um corpo só, e o enunciado dá direções de velocidade em dois pontos. | Perpendiculares → \(I\) → \(\omega = |\vec v_A|/|I-A|\) → todo o resto por \(|\vec v_P| = \omega|P-I|\). | L2-3.6 |
| P-B rolamento |
"rola sem escorregar", esteira, disco dentro/fora de circunferência. | O contato é o CIR (se a outra superfície é fixa). Amarre a velocidade do centro com a geometria do caminho dele. | L2-3.2, L2-3.13, L2-3.14 |
| P-C cadeia de corpos |
Duas ou mais peças: barras articuladas, disco + barra, mecanismos com nome (guilhotina, quatro barras). | Um corpo por vez, começando pelo de CIR conhecido, atravessando pelas articulações. O §3.1 é o passo a passo. | L2-3.3, 3.4, 3.5, 3.7 a 3.12, 3.15, 3.16 |
| P-D demonstrar |
"Mostre que…", sem números. | Parta de \(\vec v_I = \vec 0\) ou da fórmula da aceleração e manipule. BAC-CAB costuma ser a chave. | L2-3.1 |
Misturar corpos. Cada peça tem seu \(\omega\) e seu CIR. Já foi dito no §3 e vai ser dito de novo, porque é o erro campeão.
Usar o CIR em aceleração. \(\vec v_I = \vec 0\) não implica \(\vec a_I = \vec 0\) (§4).
Esquecer o termo \(-\omega^2(P-A)\). Ele existe mesmo com \(\alpha=0\).
Errar o sinal de \(\omega\). Olhe a figura e decida antes: o corpo gira no horário ou no anti-horário? Anti-horário é \(\omega > 0\) em \(\vec k\). Uma resposta com sinal trocado é uma resposta errada, ainda que o módulo esteja certo.
Esta é a série em que ver um mecanismo mexendo vale mais do que ler. Os dois primeiros são os que realmente mudam o jogo.
Mecanismos planos animados, com os vetores de velocidade desenhados enquanto a peça se move.
É o recurso certo para esta série inteira. Veja a animação antes de tentar o exercício correspondente.
purdue.edu/freeform/me274Coleção de modelos de mecanismos reais do século XIX, muitos com vídeo.
A guilhotina do L2-3.7 e o quatro-barras do L2-3.16 existem de verdade. Ver a peça girando mata a dúvida sobre "quem está articulado em quê".
digital.library.cornell.edu/collections/kmoddlCapítulo de movimento plano: dezenas de exercícios de CIR do mesmo tipo dos seus.
Aqui volume ajuda. O padrão P-C só vira automático depois de umas dez repetições.
Bibliografia da disciplina.
Aulas de cinemática de corpo rígido em movimento plano.
Boa para ouvir o mesmo conteúdo com outra notação e checar se o seu entendimento é do conceito ou do símbolo.
ocw.mit.edu/courses/2-003scUse os códigos: "não entendi o §4.1", "refaz o V1 com φ perto de 90°", "aplica o P-C no L2-3.9 passo a passo", "me arguí sobre o §2".
Fechado isto, falta uma fantasia só. No Módulo 4 entra um segundo observador: uma plataforma que gira, uma escada de bombeiro que sobe, uma cabine de guindaste. A pergunta deixa de ser "qual a velocidade deste ponto" e passa a ser "velocidade medida por quem?" — e da tradução entre os dois observadores nasce Coriolis.