Um corpo rígido tem infinitos pontos e você não vai acompanhar nenhum deles. Vai acompanhar dois vetores — e eles bastam para saber a velocidade de qualquer ponto, em qualquer instante. Este módulo mostra de onde vem essa compressão absurda, e o argumento é o mesmo Lema do Módulo 1 mudando de endereço.
No Módulo 1 havia um ponto andando numa curva. A base intrínseca t̂, n̂, b̂ viajava com ele, e o que descobrimos foi que essa base só podia girar — com um único \(\vec\omega\) mandando em todo mundo.
Agora não é um ponto. É um corpo: uma barra, um disco, uma engrenagem, um tanque de guerra. Infinitos pontos de uma vez. Parece infinitamente mais difícil.
É mais fácil. E o motivo cabe numa frase:
Um corpo rígido é, por definição, um conjunto de pontos em que toda distância interna é constante. Mas "módulo constante" é exatamente a hipótese do Lema do Módulo 1. O corpo rígido não é um assunto novo — é o Lema aplicado a um vetor novo: \((B - A)\).
E o destino deste módulo é esta fórmula, que você vai usar até o fim da disciplina:
$$\vec v_B = \vec v_A + \vec\omega \wedge (B - A)$$Leia o que ela diz, porque é chocante: escolha um ponto do corpo e saiba sua velocidade (3 números); saiba o \(\vec\omega\) (mais 3 números). Pronto — você sabe a velocidade de todos os infinitos pontos. Seis números descrevendo um infinito. Não é um truque de conta; é uma consequência da rigidez, e nas próximas seções ela é construída do zero.
| Série | Quem é o \(\vec\omega\) | Onde |
|---|---|---|
| #1 | vetor de Darboux \(\tau\,\)t̂\(+\kappa\,\)b̂ do triedro | Módulo 1 |
| #2 | o vetor rotação do corpo rígido | aqui |
| #3 | o mesmo, achatado no plano — e daí nasce o CIR | Módulo 3 |
| #4 | o \(\vec\omega\) do referencial móvel — e daí nasce Coriolis | Módulo 4 |
Cada seção tem um código (§3.2, V2, P-B). Quando algo não fechar, me chame pelo código: "não entendi o §3.2", "refaz o V1 com ω negativo", "aplica o P-B no L2-2.2".
As caixas "Confira depois de tentar" escondem resultados. Tente antes — quem lê a resposta primeiro aprende a reconhecer, não a fazer.
Um corpo rígido é um conjunto de pontos tal que, para quaisquer dois deles,
$$\left|B - A\right| = \text{constante no tempo}$$Só isso. Não há hipótese sobre formato, massa, simetria ou material. Tudo o que vem a seguir — inclusive a existência do \(\vec\omega\) — sai dessa única linha.
Em vez de derivar o módulo (que tem raiz quadrada e incomoda), derive o quadrado:
$$\left|B-A\right|^2 = (B-A)\cdot(B-A) = \text{const}$$Derivando os dois lados pela regra do produto,
$$2\,(B-A)\cdot\frac{d(B-A)}{dt} = 0 \quad\Longrightarrow\quad \boxed{\;(B-A)\;\perp\;\frac{d(B-A)}{dt}\;}$$Esse é o Lema do Módulo 1, palavra por palavra. Lá o vetor de módulo constante era um versor da base; aqui é a flecha que liga dois pontos do corpo. A demonstração não muda porque ela só usa o produto escalar — não interessa o que o vetor representa.
O item (a) pede exatamente \(\frac{d(B-A)}{dt} \perp (B-A)\) — está demonstrado acima, em duas linhas.
O item (c) pede que \(\vec v_B - \vec v_A\) seja ortogonal a \((B-A)\). Mas \(\frac{d(B-A)}{dt} = \vec v_B - \vec v_A\), porque derivar a posição de cada ponto dá a velocidade dele. É o mesmo item escrito com outras letras. Dois terços do exercício caem de uma vez só.
Decomponha \(\vec v_B - \vec v_A\) em duas partes: uma ao longo da reta \(AB\) e outra perpendicular a ela. O que acabamos de provar é que a parte ao longo da reta é sempre nula.
Faz sentido físico direto. A componente ao longo de \(AB\) é a velocidade com que \(B\) se afasta ou se aproxima de \(A\) — é a taxa de variação da distância. Se ela não fosse zero, o corpo estaria esticando ou encolhendo. Ele não pode. Logo ela é zero.
E a componente perpendicular? Essa é livre. Ela é, literalmente, a rotação: a única coisa que sobra para um par de pontos rígidos fazer é um girar em volta do outro.
Reescreva \((B-A)\cdot(\vec v_B - \vec v_A) = 0\) abrindo o parêntese:
$$\vec v_B \cdot (B-A) = \vec v_A\cdot(B-A)$$Dividindo pelo comprimento, com \(\hat u\) o versor de \(A\) para \(B\):
$$\boxed{\;\vec v_A\cdot\hat u = \vec v_B\cdot\hat u\;}$$Em palavras: dois pontos de um corpo rígido têm a mesma projeção de velocidade sobre a reta que os une. As velocidades podem ser completamente diferentes em módulo e direção — mas a sombra delas sobre a reta \(AB\) é obrigatoriamente a mesma. Esse é o L2-2.3(b), e é a propriedade chamada equiprojetividade.
As duas sombras roxas sobre a barra são as projeções de \(\vec v_A\) e \(\vec v_B\). Mexa em \(\omega\) à vontade: as velocidades mudam, as sombras não se separam. Agora abra a "componente proibida" — você adiciona a \(B\) uma velocidade ao longo da barra, e ela começa a esticar na sua frente.
Equiprojetividade é uma condição necessária: se um conjunto de pontos e velocidades é rígido, ela vale. A utilidade prática vem da contrapositiva — se ela falha em um único par, aqueles pontos não podem pertencer ao mesmo corpo rígido. É um teste de eliminação que custa um produto escalar.
É exatamente o que o L2-2.2(a) pede: dadas as posições de \(A\), \(C\), \(D\) e duas hipóteses para \(\vec v_C\), decidir qual é possível. Não precisa achar \(\vec\omega\), não precisa montar sistema nenhum. Calcule as projeções par a par e veja qual hipótese sobrevive.
Com \(A(0,2,1)\), \(C(1,3,1)\), \(D(0,3,2)\), \(\vec v_A = \vec\jmath\) e \(\vec v_D = 2\vec\imath + \vec k\):
| Par | \(Y - X\) | \(\vec v_X\cdot(Y-X)\) | \(\vec v_Y\cdot(Y-X)\) com \(\vec v_C = \vec\imath\) | … com \(\vec v_C = -\vec\imath\) |
|---|---|---|---|---|
| A, C | \((1,1,0)\) | 1 | 1 ✓ | \(-1\) ✗ |
| A, D | \((0,1,1)\) | 1 | 1 ✓ | 1 ✓ |
| C, D | \((-1,0,1)\) | \(-1\) / \(+1\) | \(-1\) ✓ | \(-1\) ✗ |
O par \(A,C\) sozinho já derruba \(\vec v_C = -\vec\imath\). Sobra \(\vec v_C = \vec\imath\), e ela passa em todos os pares. Repare que o trabalho foi aritmética de produto escalar — nenhum produto vetorial, nenhum sistema.
Um campo de velocidades equiprojetivo é necessariamente da forma \(\vec v_P = \vec v_A + \vec\omega\wedge(P-A)\). Ou seja: equiprojetividade não é uma consequência da rigidez — ela é a rigidez, vista do lado das velocidades. As duas descrições dizem a mesma coisa. Guarde isso: é o tipo de equivalência que transforma um enunciado "mostre que" numa linha.
O §2 disse o que não pode acontecer (esticar). Agora vamos construir o que pode. A ferramenta é a mesma do Módulo 1 §1.3 — só que aplicada ao corpo inteiro.
Escolha um ponto qualquer do corpo para servir de referência — chame de \(A\). Qualquer outro ponto \(P\) pode ser escrito como
$$P(t) = A(t) + Q(t)\,\big(P_0 - A_0\big)$$onde \(P_0 - A_0\) é a flecha de \(A\) até \(P\) no instante inicial e \(Q(t)\) é a matriz que leva a configuração inicial na atual. Duas observações que carregam todo o peso:
Derivando a expressão de \(P(t)\), com \(P_0 - A_0\) constante:
$$\vec v_P = \vec v_A + \dot Q\,(P_0-A_0)$$Mas \(P_0 - A_0 = Q^{\mathsf T}(P-A)\) (basta inverter a primeira equação, e para matriz ortogonal a inversa é a transposta). Substituindo:
$$\vec v_P = \vec v_A + \underbrace{\dot Q Q^{\mathsf T}}_{\textstyle \Omega}\,(P-A)$$Agora o passo do Módulo 1: derive \(QQ^{\mathsf T} = I\) e obtenha \(\dot Q Q^{\mathsf T} + Q\dot Q^{\mathsf T} = 0\), isto é, \(\Omega + \Omega^{\mathsf T} = 0\). \(\Omega\) é antissimétrica. Não foi escolha, foi imposição da ortogonalidade.
E uma matriz antissimétrica \(3\times3\) tem apenas três números livres, que se organizam num vetor:
$$\Omega = \begin{pmatrix} 0 & -\omega_3 & \omega_2\\ \omega_3 & 0 & -\omega_1\\ -\omega_2 & \omega_1 & 0\end{pmatrix}, \qquad \Omega\,\vec r = \vec\omega\wedge\vec r$$Trocando \(\Omega(P-A)\) por \(\vec\omega\wedge(P-A)\), está pronto:
Ela não foi postulada nem decorada: é a derivada de "o corpo não deforma", traduzida por \(SO(3)\).
→ Complementos: A mesma dedução por outro caminho — derivando \(P-A = Q\vec c\) com \(\vec c\) constante, em três linhas — está no §C3 dos Complementos, junto com a prova de que esse \(\vec\omega\) é único — abrir o §C3 →
Essa é a propriedade que mais rende em prova, e quase ninguém percebe que precisa de demonstração. Escolhemos \(A\) arbitrariamente lá atrás. E se um colega escolher \(A'\)? Ele vai achar um \(\vec\omega'\) diferente?
Não. Aplique a fórmula no próprio \(A'\): \(\vec v_{A'} = \vec v_A + \vec\omega\wedge(A'-A)\). Agora escreva a velocidade de um \(P\) genérico das duas maneiras e iguale:
$$\vec v_A + \vec\omega\wedge(P-A) \;=\; \underbrace{\vec v_A + \vec\omega\wedge(A'-A)}_{\vec v_{A'}} + \vec\omega\,'\wedge(P-A')$$Cancelando \(\vec v_A\) e usando \(\vec\omega\wedge(P-A) - \vec\omega\wedge(A'-A) = \vec\omega\wedge(P-A')\), sobra
$$\big(\vec\omega - \vec\omega\,'\big)\wedge(P-A') = \vec 0 \quad\text{para \emph{todo} } P$$Um vetor que dá produto vetorial nulo com todas as direções do espaço só pode ser o vetor nulo. Logo \(\vec\omega\,' = \vec\omega\).
A leitura intuitiva é melhor ainda: \(\vec v_A\) depende de onde você olha, porque cada ponto do corpo passeia de um jeito. Mas \(\vec\omega\) mede a taxa com que a orientação do corpo muda — e orientação é uma propriedade do corpo inteiro, não de um ponto. Não há como o corpo girar depressa "perto de \(A\)" e devagar "perto de \(A'\)".
Cada seta é a velocidade daquele ponto da peça. Troque o ponto-base entre \(A\), \(B\) e \(C\): a velocidade de referência muda completamente, o campo desenhado não muda um pixel, e o \(\omega\) do painel fica travado no mesmo número. Repare também no anel vermelho: ali a velocidade é exatamente zero — guarde esse ponto, o Módulo 3 inteiro mora nele.
Duas leituras que valem o preço do módulo:
Suponha que você conhece \(\vec v_A\) e \(\vec v_B\) e quer \(\vec\omega\). A equação disponível é
$$\vec v_B - \vec v_A = \vec\omega\wedge(B-A)$$Parece três equações para três incógnitas, mas não é: o lado esquerdo é obrigatoriamente perpendicular a \((B-A)\) (foi o §1), então uma das três equações não traz informação nova. Sobram duas.
Quem sumiu foi a componente de \(\vec\omega\) ao longo de \(AB\) — e o produto vetorial a mata: \(\vec\omega_\parallel \wedge (B-A) = \vec 0\). A tradução física é imediata e você já viu isso na vida real: girar o corpo em torno do próprio eixo \(AB\) não move nem \(A\) nem \(B\). Um espeto girando não desloca as pontas.
Conclusão prática: para fixar \(\vec\omega\) no espaço você precisa de dois pares não colineares. É exatamente por isso que o L2-2.2 te dá quatro pontos, e não dois.
Se o movimento é plano, \(\vec\omega = \omega\,\vec k\) — só uma incógnita escalar. E o produto vetorial com \(\vec k\) tem uma cara muito concreta:
$$\vec k \wedge (a,\,b,\,0) = (-b,\,a,\,0)$$Ou seja: multiplicar por \(\vec k\wedge\) é girar 90° no sentido anti-horário. Então a fórmula fundamental, no plano, diz algo que dá para desenhar:
A diferença de velocidades \(\vec v_B - \vec v_A\) é o vetor \((B-A)\) girado um quarto de volta e multiplicado por \(\omega\). Só isso. Se você enxergar essa figura, resolve a Série 3 inteira quase sem conta.
Daí sai o roteiro do L2-2.1: monte \(\vec v_B - \vec v_A = \omega\,\vec k\wedge(B-A)\), compare componente a componente e saia com \(\omega\) e com o \(m\) que faltava. Com \(\omega\) na mão, \(\vec v_C\) é uma substituição.
\(B-A = (1,-1)\), então \(\vec k\wedge(B-A) = (1,1)\). E \(\vec v_B - \vec v_A = (2,\; m+2)\).
Igualando: \(\omega(1,1) = (2,\,m+2)\) dá \(\omega = 2\) e \(m = 0\).
Para \(C(-1,1)\): \(C-A = (-2,-1)\), \(\vec k\wedge(C-A) = (1,-2)\), logo \(\vec v_C = (1,-2) + 2(1,-2) = 3\vec\imath - 6\vec\jmath\). Repare que \(\vec v_C\) saiu paralelo a \(\vec v_A\) — coincidência desse arranjo, não regra.
O L2-2.4 é um presente, se você não tentar força bruta. Se \(\vec v_P = \vec v_Q\), a fórmula fundamental aplicada ao par dá
$$\vec\omega\wedge(P-Q) = \vec 0$$Um produto vetorial só zera em dois casos, e eles são os dois itens do enunciado:
O exercício inteiro é uma linha de álgebra mais a leitura correta de "produto vetorial nulo". Nenhuma conta.
O eixo dourado é \(\vec\omega\). Gire o segmento \(PQ\) e observe \(|\vec v_P - \vec v_Q| = \omega\,|PQ|\,\mathrm{sen}\,\theta\): ela encolhe conforme o segmento se alinha com o eixo e some exatamente em \(\theta = 0^\circ\). Não é aproximação — é o produto vetorial zerando.
| Você quer | Use | Cuidado |
|---|---|---|
| a velocidade de um ponto qualquer | \(\vec v_P = \vec v_A + \vec\omega\wedge(P-A)\) | \(A\) precisa ser um ponto do mesmo corpo |
| testar se pontos são do mesmo corpo | \(\vec v_X\cdot(Y-X) = \vec v_Y\cdot(Y-X)\) | condição necessária: serve para eliminar |
| \(\vec\omega\) no espaço | dois pares não colineares em \(\vec v_B - \vec v_A = \vec\omega\wedge(B-A)\) | um par só deixa a componente paralela indeterminada |
| \(\omega\) no plano | \(\vec v_B - \vec v_A = \omega\,\vec k\wedge(B-A)\), um quarto de volta | sinal: \(\omega>0\) é anti-horário |
| concluir de \(\vec v_P = \vec v_Q\) | \(\vec\omega\wedge(P-Q)=\vec 0\) | são dois casos, não um |
Quatro exercícios, quatro padrões. Identifique o padrão antes de escrever qualquer coisa.
| Padrão | Como o enunciado se parece | O que fazer | Cai em |
|---|---|---|---|
| P-A triagem |
"estes pontos podem pertencer ao mesmo corpo rígido?" | Equiprojetividade par a par. Um par que falha encerra o assunto. | L2-2.2(a) |
| P-B montar e resolver |
"determine \(\vec\omega\)", "determine a velocidade de B" | \(\vec v_Y - \vec v_X = \vec\omega\wedge(Y-X)\) para pares não colineares. No plano, uma equação basta. | L2-2.1, L2-2.2(b,c) |
| P-C demonstrar |
"demonstrar que…", sem números | Derive o vínculo \(|B-A|^2=\)const e leia o resultado. Não tente achar \(\vec\omega\). | L2-2.3 |
| P-D anular |
"mostre que então ou … ou …" | Escreva a condição, chegue num produto vetorial nulo e liste os dois casos que o anulam. | L2-2.4 |
Ordem no produto vetorial. É \(\vec\omega\wedge(B-A)\), nunca \((B-A)\wedge\vec\omega\). O sinal trocado transforma a resposta certa na resposta errada com a mesma cara.
Ponto-base de outro corpo. A fórmula só liga pontos do mesmo corpo rígido. Usar o \(\vec\omega\) de uma barra num ponto do disco é o erro mais comum da lista inteira.
Achar que um par determina \(\vec\omega\) no espaço. Determina só a parte perpendicular. Se o exercício é 3D e você usou um par só, provavelmente escreveu uma resposta com um grau de liberdade escondido.
Poucos e escolhidos. A Série 2 é curta em exercícios e longa em conceito — vale mais reler o §3 do que resolver mais dez problemas.
As aulas sobre rigid body kinematics montam a fórmula fundamental com outra notação.
Ouvir a mesma construção por outra voz é o melhor teste de que você entendeu.
ocw.mit.edu/courses/2-003scMatrizes como transformações e a ideia de composição.
Serve para o §3: enxergar \(Q\) como "uma transformação que preserva forma" em vez de uma tabela de números.
3blue1brown.com/topics/linear-algebraCapítulo de cinemática do corpo rígido, com a notação idêntica à da sua lista.
É o livro que fala a mesma língua do enunciado — inclusive \(\wedge\) para produto vetorial.
Biblioteca / bibliografia da disciplina.
Animações de campos de velocidade e de corpos em movimento plano.
Use agora as de corpo rígido; as de mecanismos ficam para o Módulo 3.
purdue.edu/freeform/me274Use os códigos: "não entendi o §3.3", "refaz o V2 com ω = 0", "aplica o P-B no L2-2.2", "me arguí sobre o §4.1".
Se as quatro saírem redondas, o Módulo 2 está fechado:
Fechado isto, a ponte para o Módulo 3 já está construída: no plano, \(\vec\omega = \omega\vec k\), e o campo \(\vec v_P = \vec v_A + \omega\,\vec k\wedge(P-A)\) tem sempre um ponto onde a velocidade se anula — aquele anel vermelho da V2. Esse ponto é o centro instantâneo de rotação, e ele transforma dezesseis exercícios de mecanismos em um procedimento só.