A Lista 2 inteira é um único teorema de álgebra linear aplicado quatro vezes. Esta página reconstrói esse teorema com você, da definição de matriz até o eixo helicoidal — e você vai deduzir quase tudo antes de eu contar.
Os módulos do guia são verticais: cada um resolve uma série da lista. Esta página é horizontal — ela é a maquinaria que os quatro módulos usam por baixo. Sempre que um módulo disser "isso é álgebra linear, veja o complemento", o link cai aqui, na seção exata.
Coluna, produto escalar, transposta, determinante, núcleo, autovetor, base. Curto e sem enfeite — é só o que vai ser usado depois.
De "o corpo é rígido" até \(\vec\omega\), passando por \(SO(3)\), antissimetria e a exponencial. É o coração da página.
Frenet, corpo rígido, CIR, Coriolis. Cada uma sai em poucas linhas da §B — nenhuma fórmula nova.
Projeções, determinantes, mudança de base e quando um mecanismo trava. O que você usa resolvendo exercício.
Quase toda seção tem uma caixa roxa RECONSTRUA com um código (R1, R2, …). Ela pede algo antes de eu explicar. A ordem importa: se você ler a resposta primeiro, vai aprender a reconhecer o argumento; se tentar primeiro, vai aprender a produzir o argumento. Só o segundo sobrevive à prova.
As caixas "Confira depois de tentar" escondem a resolução. Elas são curtas de propósito — se a sua tentativa chegou perto, você não precisa de mais que isso; se não chegou, me chame pelo código do R e a gente destrincha.
Você precisa saber: somar vetores, multiplicar matriz por vetor, e derivar. Só isso. Determinante, núcleo e autovetor vão ser reconstruídos aqui do jeito que a Mecânica usa — que muitas vezes não é o jeito que o curso de Álgebra Linear apresenta primeiro.
Não existem quatro assuntos na Lista 2. Existe um: um conjunto de vetores que preserva comprimentos e ângulos só pode girar, e o "girar" tem um gerador, que é uma matriz antissimétrica, que em três dimensões — e só em três — pode ser escrita como um produto vetorial. Todo o resto é essa frase com sotaque diferente.
Esta parte é deliberadamente rápida. O objetivo não é cobrir Álgebra Linear — é trocar a definição de curso de cada conceito pela imagem operacional que a Mecânica vai exigir. Se você já domina algum item, pule; os códigos ficam aqui para eu referenciar depois.
Uma força existe. Ela empurra numa direção, com uma intensidade, independentemente de você ter escolhido eixos. Quando você escreve \(\vec F = (3, -1, 5)\), você não descreveu a força: você descreveu a força mais a sua escolha de base. Troque a base e os três números mudam, embora nada no mundo tenha mudado.
Isso parece filosofia até a primeira prova em que você mistura componentes escritas em bases diferentes e o resultado dá errado sem nenhum erro de conta. Guarde a regra:
Você nunca soma, subtrai ou compara componentes de bases diferentes. \(\dot\theta\,\hat\imath\) e \((0,0,\dot\theta)\) podem ser o mesmo vetor ou vetores completamente diferentes — depende de quem é \(\hat\imath\). Anote sempre em qual base as componentes estão escritas. Metade dos erros da Série 4 é isso.
O lado bom: se uma equação entre vetores é verdadeira (tipo \(\vec v = \vec\omega \wedge \vec r\)), ela é verdadeira em qualquer base — você pode escolher a base que deixa a conta mais fácil. Essa liberdade é a arma mais subutilizada em exercício de Mecânica.
Uma transformação linear \(L\) é uma função de vetores em vetores que respeita duas coisas: \(L(\vec u + \vec v) = L\vec u + L\vec v\) e \(L(k\vec u) = k\,L\vec u\). Essas duas exigências têm uma consequência forte: se você sabe o que \(L\) faz com os versores da base, você sabe tudo. Porque qualquer vetor é \(\vec u = u_1\hat\imath + u_2\hat\jmath + u_3\hat k\), e então
$$L\vec u = u_1\,L\hat\imath + u_2\,L\hat\jmath + u_3\,L\hat k$$Ou seja: a transformação inteira cabe em três vetores — as imagens dos três versores. Empilhe esses três vetores em colunas e você tem a matriz.
Pegue \(A=\begin{pmatrix}2&0\\1&3\end{pmatrix}\). Sem usar nenhuma regra decorada de multiplicação: para onde \(A\) manda \(\hat\imath=(1,0)\)? E \(\hat\jmath=(0,1)\)? Agora, usando só isso e a linearidade, calcule \(A(4,5)\).
\(A\hat\imath = (2,1)\) — a primeira coluna. \(A\hat\jmath = (0,3)\) — a segunda. Então \(A(4,5) = 4(2,1) + 5(0,3) = (8, 4) + (0,15) = (8,19)\).
Compare com a regra "linha vezes coluna": dá o mesmo. Mas a leitura por colunas é a única que continua fazendo sentido quando a matriz tem significado físico. Daqui para a frente, matriz = caixa de vetores-destino.
Duas consequências que vamos usar muito:
E um fato pequeno que vale ouro na Mecânica: se \(A\) é constante no tempo e \(\vec u(t)\) varia, então
$$\frac{d}{dt}\big(A\vec u\big) = A\,\dot{\vec u}$$porque derivar é um limite de combinações lineares, e \(A\) já respeita combinações lineares. Derivada e transformação linear constante comutam. (Quando \(A\) não é constante — que é o caso interessante deste guia inteiro — aparece o termo extra \(\dot A\vec u\), e ele é o protagonista de tudo.)
Comprimento e ângulo não vêm de graça com "vetor". Eles vêm de uma estrutura extra, o produto escalar:
$$\vec u \cdot \vec v = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3 = |\vec u||\vec v|\cos\alpha$$As duas expressões são a mesma coisa, mas contam histórias diferentes. A da direita diz o que ele significa: quanto de \(\vec u\) aponta na direção de \(\vec v\), vezes o tamanho de \(\vec v\). A da esquerda diz como calcular — e só vale em base ortonormal, detalhe que costuma passar batido.
Tudo que a gente vai chamar de "rigidez" é uma afirmação sobre produtos escalares:
| Frase geométrica | Frase em produto escalar |
|---|---|
| \(\vec u\) tem comprimento 1 | \(\vec u\cdot\vec u = 1\) |
| \(\vec u\) e \(\vec v\) são perpendiculares | \(\vec u\cdot\vec v = 0\) |
| o ângulo entre \(\vec u\) e \(\vec v\) não muda no tempo | \(\dfrac{d}{dt}(\vec u\cdot\vec v) = 0\) |
| a distância entre dois pontos não muda | \(\dfrac{d}{dt}\big[(\vec r_B-\vec r_A)\cdot(\vec r_B-\vec r_A)\big]=0\) |
E o produto escalar obedece à regra do produto igual a funções escalares:
$$\frac{d}{dt}(\vec u\cdot\vec v) = \dot{\vec u}\cdot\vec v + \vec u\cdot\dot{\vec v}$$Isso não é coincidência nem convenção — é porque \(\vec u\cdot\vec v\) é uma soma de produtos de funções, e cada produto obedece à regra do produto. Essa linha é o motor de toda a página. Quase todo teorema daqui em diante é "escreva a rigidez como produto escalar constante, derive, leia o resultado".
"Transposta é espelhar a matriz na diagonal" é uma receita, não um significado. O significado é este: \(A^{\mathsf T}\) é a única matriz que satisfaz
$$(A\vec u)\cdot\vec v = \vec u\cdot(A^{\mathsf T}\vec v)\qquad\text{para todos } \vec u,\vec v$$Verifique a identidade acima escrevendo os somatórios. Dica: \((A\vec u)_i = \sum_j a_{ij}u_j\); escreva \((A\vec u)\cdot\vec v = \sum_i\sum_j a_{ij}u_jv_i\) e depois reorganize para que \(u_j\) fique do lado de fora.
O único passo foi trocar a ordem dos somatórios. O índice que era de linha virou de coluna — e é por isso que a receita "espelhe na diagonal" funciona. A receita é consequência; a identidade é a definição.
Com essa leitura, uma pergunta que parecia técnica fica física: quais matrizes preservam todos os produtos escalares? Queremos \((Q\vec u)\cdot(Q\vec v) = \vec u\cdot\vec v\). Pela identidade,
$$(Q\vec u)\cdot(Q\vec v) = \vec u\cdot(Q^{\mathsf T}Q\,\vec v)$$e isso é igual a \(\vec u\cdot\vec v\) para todo par se e só se \(Q^{\mathsf T}Q = I\). Guarde: preservar comprimentos e ângulos \(\iff Q^{\mathsf T}Q = I\). Vamos usar isso na §B como ponto de partida, e vamos reencontrá-lo por um caminho totalmente diferente — pelas colunas — em §B1.
Esqueça a regra de Sarrus por um minuto. O determinante de \(A\) responde: se eu aplicar \(A\) num cubo de volume 1, qual o volume da caixa que sai? Com sinal: negativo quer dizer que a orientação inverteu (a mão direita virou mão esquerda).
Daí saem, sem decorar, os fatos que a gente usa:
O núcleo de \(A\) é o conjunto dos \(\vec x\) com \(A\vec x = \vec 0\). É a lista do que a transformação destrói. A conexão com o determinante é direta e é a única coisa que você precisa lembrar:
\(\det A \neq 0\) \(\iff\) núcleo só tem o \(\vec 0\) \(\iff\) o sistema \(A\vec x = \vec b\) tem solução única.
\(\det A = 0\) \(\iff\) existe direção apagada \(\iff\) \(A\vec x = \vec b\) ou não tem solução, ou tem infinitas.
Em Mecânica isso vira: "existe um ponto com velocidade nula?" (o CIR, §C4), "existe um eixo de rotação?" (§B6), "esse mecanismo trava nessa posição?" (§D4). Todas as três são a mesma pergunta sobre determinante.
\(\vec x\) é autovetor se \(A\vec x = \lambda\vec x\): a matriz não muda a direção, só estica por \(\lambda\). Duas observações que vão importar:
Uma base é ortonormal quando os três versores têm módulo 1 e são mutuamente perpendiculares. Toda base que a Mecânica usa é assim — \((\hat\imath,\hat\jmath,\hat k)\), \((\hat t,\hat n,\hat b)\), \((\hat\imath,\vec\tau,\hat u)\) — e isso não é conveniência estética: é o que faz \(\vec u\cdot\vec v = u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3\) valer, e o que faz "achar a componente" ser só um produto escalar: \(u_i = \vec u\cdot\hat e_i\).
Se \(Q\) tem uma base ortonormal nas colunas, então \(Q^{\mathsf T}Q = I\), o que significa \(Q^{-1} = Q^{\mathsf T}\): inverter é transpor. Esse é o superpoder da §B inteira — trocar de base para frente e para trás sem nunca calcular uma inversa.
Por fim, a fórmula que traduz uma transformação entre duas bases:
$$A_{\text{nova}} = Q^{\mathsf T}A_{\text{antiga}}\,Q$$Leia como uma sanduíche de tradução: \(Q\) leva do idioma novo para o antigo, \(A\) faz o serviço no antigo, \(Q^{\mathsf T}\) traz o resultado de volta. É a mesma transformação, dita em outra língua. Vai reaparecer em §C5 e §D3.
Arraste as pontas das duas colunas. O quadrado cinza é o "antes"; o paralelogramo colorido é o "depois". Olhe três coisas ao mesmo tempo: a área (que é o determinante), a tabela \(Q^{\mathsf T}Q\) de produtos escalares, e quando ela vira a identidade.
No W1, coloque as duas colunas em cima uma da outra (paralelas). Olhe o determinante. Agora responda sem calcular: existe algum vetor não nulo que essa matriz manda para a origem? Consegue apontar qual, na tela?
Sim. Se as colunas são paralelas, digamos \(\vec c_2 = k\,\vec c_1\), então o vetor \(\vec x = (k,-1)\) é apagado: \(A\vec x = k\vec c_1 - \vec c_2 = \vec 0\). O paralelogramo virou um segmento — área zero, uma direção inteira esmagada.
Você acabou de ligar, na mão, colunas dependentes \(\to\) determinante zero \(\to\) núcleo não trivial. Esses três enunciados são o mesmo enunciado. Vamos precisar dele exatamente assim em §C4.
Agora a construção de verdade. Vamos partir de uma frase que não tem nenhuma matemática — "esse conjunto de vetores é rígido" — e chegar, sem nenhum salto, na fórmula \(\dot{\vec u} = \vec\omega\wedge\vec u\). Sete passos. Cada um deles você consegue dar sozinho; eu só vou arrumar a poeira depois.
Considere um triedro ortonormal móvel \(\hat e_1(t), \hat e_2(t), \hat e_3(t)\) — pode ser o triedro de Frenet, a base cilíndrica, ou três direções gravadas num corpo rígido. Ponha as componentes deles (medidas numa base fixa) nas colunas de uma matriz \(Q(t)\).
\(Q(t)\) é uma fotografia da orientação no instante \(t\). E, pela leitura da §A2, \(Q\) é também a transformação que leva a base fixa na base móvel: \(Q\hat\imath = \hat e_1\), \(Q\hat\jmath = \hat e_2\), \(Q\hat k = \hat e_3\). Os dois papéis — "tabela de componentes" e "a rotação aplicada" — são o mesmo objeto.
Escreva a condição "os três versores têm módulo 1 e são mutuamente perpendiculares" como uma única equação matricial. Dica: lembre da §A4 que a entrada \((i,j)\) de \(Q^{\mathsf T}Q\) é o produto escalar da linha \(i\) de \(Q^{\mathsf T}\) com a coluna \(j\) de \(Q\) — e pergunte-se quem são essas duas coisas.
A linha \(i\) de \(Q^{\mathsf T}\) é o versor \(\hat e_i\) deitado; a coluna \(j\) de \(Q\) é \(\hat e_j\) em pé. Logo
$$(Q^{\mathsf T}Q)_{ij} = \hat e_i\cdot\hat e_j$$\(Q^{\mathsf T}Q\) é a tabela de todos os produtos escalares do triedro. Exigir módulo 1 e perpendicularidade é exigir que essa tabela seja \(I\):
$$\boxed{\,Q^{\mathsf T}Q = I\,}$$Repare que chegamos à mesma equação por dois caminhos independentes: pelas colunas (a tabela acima) e pelo produto escalar preservado (§A4). Não é coincidência — é a mesma afirmação vista de dentro e de fora. Matrizes com \(Q^{\mathsf T}Q = I\) se chamam ortogonais.
De \(Q^{\mathsf T}Q = I\), tire o determinante dos dois lados e descubra quanto vale \(\det Q\). Depois pense: um corpo rígido que se move parte de \(Q(0) = I\) e muda continuamente. Isso restringe o valor?
\(\det(Q^{\mathsf T}Q) = \det(Q^{\mathsf T})\det(Q) = (\det Q)^2 = \det I = 1\), logo \(\det Q = \pm 1\).
Agora o argumento bonito: \(\det Q(t)\) é uma função contínua do tempo que só pode valer \(+1\) ou \(-1\). Uma função contínua não pula de \(+1\) para \(-1\) sem passar por zero — e zero é proibido. Como \(\det Q(0) = \det I = +1\), ela fica em \(+1\) para sempre.
Esse resultado tem tradução física imediata: você não consegue transformar uma mão direita numa mão esquerda mexendo o corpo continuamente. \(\det Q = -1\) corresponde a reflexões — espelhos, não movimentos. O conjunto que sobra,
$$SO(3) = \{\,Q : Q^{\mathsf T}Q = I,\ \det Q = +1\,\}$$é o conjunto de todas as orientações fisicamente alcançáveis de um corpo rígido. O "S" é de special (o \(\det=+1\)), o "O" de orthogonal, o 3 da dimensão do espaço. Toda a Lista 2 acontece dentro desse conjunto.
Uma matriz \(3\times3\) tem 9 números. A condição \(Q^{\mathsf T}Q = I\) impõe quantas equações independentes? Quantos graus de liberdade sobram? E esse número bate com quantos números você usaria para descrever a orientação de um livro na sua mão?
9 números, menos 6 vínculos (3 de comprimento + 3 de ângulo, contados na figura do §B1) = 3 graus de liberdade.
E bate: três ângulos descrevem a orientação de qualquer objeto rígido (os ângulos de Euler, por exemplo). Uma orientação é um ponto num espaço de dimensão 3 — só que num espaço curvo, porque os 9 números vivem espremidos por 6 equações.
Vale a pena deixar essa imagem bem nítida, porque ela organiza tudo que vem depois:
\(SO(3)\) é uma superfície curva de dimensão 3, morando dentro do espaço de 9 dimensões de todas as matrizes \(3\times3\). Um corpo rígido em movimento é um ponto viajando nessa superfície: \(Q(t)\) é uma curva, e \(\dot Q\) é o vetor tangente a ela.
A pergunta "como um corpo rígido pode se mexer?" vira então: quais são os vetores tangentes permitidos nessa superfície? É isso que o próximo passo responde — e a resposta é a antissimetria.
Antes de derivar, dois lembretes mecânicos. Derivar uma matriz é derivar cada casinha. E a regra do produto vale, com a ordem preservada: \(\frac{d}{dt}(AB) = \dot AB + A\dot B\). Também vale \(\frac{d}{dt}(Q^{\mathsf T}) = (\dot Q)^{\mathsf T}\), já que transpor é só reetiquetar posições.
Derive \(Q^{\mathsf T}Q = I\) em relação ao tempo. Depois batize \(\Omega = Q^{\mathsf T}\dot Q\) e descubra que propriedade a equação obriga \(\Omega\) a ter. Dica: use \((AB)^{\mathsf T} = B^{\mathsf T}A^{\mathsf T}\) para reconhecer o outro termo.
O lado direito é constante, então a derivada é zero:
$$\dot Q^{\mathsf T}Q + Q^{\mathsf T}\dot Q = 0$$E \((Q^{\mathsf T}\dot Q)^{\mathsf T} = \dot Q^{\mathsf T}Q\) — o primeiro termo é a transposta do segundo. Com \(\Omega = Q^{\mathsf T}\dot Q\):
$$\Omega^{\mathsf T} + \Omega = 0 \quad\Longrightarrow\quad \boxed{\;\Omega^{\mathsf T} = -\Omega\;}$$\(\Omega\) é antissimétrica. Não foi hipótese, não foi escolha de notação: é consequência forçada da rigidez. E na diagonal, \(\Omega_{ii} = -\Omega_{ii}\) obriga \(\Omega_{ii} = 0\) de graça.
Agora a parte que transforma isso de álgebra em física: o que cada casinha de \(\Omega\) significa? A linha \(i\) de \(Q^{\mathsf T}\) é \(\hat e_i\); a coluna \(j\) de \(\dot Q\) é \(\dot{\hat e}_j\). Portanto
$$\Omega_{ij} = \hat e_i\cdot\dot{\hat e}_j$$Em palavras: \(\Omega_{ij}\) é quanto o versor \(j\) está "vazando" na direção do versor \(i\). A coluna \(j\) de \(\Omega\) são as componentes de \(\dot{\hat e}_j\) escritas na própria base móvel. Não é um símbolo: é um dicionário.
Com isso, releia as 6 equações da figura do §B1 depois de derivadas:
| Vínculo | Derivado | Vira | Significado |
|---|---|---|---|
| \(\hat e_i\cdot\hat e_i = 1\) | \(2\,\hat e_i\cdot\dot{\hat e}_i = 0\) | \(\Omega_{ii} = 0\) | a derivada de um versor é perpendicular a ele — é o Lema do §1.2 do Módulo 1, três vezes |
| \(\hat e_i\cdot\hat e_j = 0\) | \(\dot{\hat e}_i\cdot\hat e_j + \hat e_i\cdot\dot{\hat e}_j = 0\) | \(\Omega_{ji} = -\Omega_{ij}\) | contabilidade de soma zero: o que um versor ganha na direção do outro, o outro perde na direção dele |
Essa segunda linha é a intuição inteira da antissimetria, e ela é desenhável:
Diagonal zerada proíbe esticar. Soma zero fora da diagonal proíbe abrir ou fechar ângulo. Um tripé que não pode esticar nem entortar tem exatamente uma coisa a fazer: girar em bloco. "Antissimétrica" é a forma matemática de "todo mundo junto".
Este passo não é obrigatório para chegar em \(\vec\omega\), mas ele é o que faz a antissimetria deixar de ser uma curiosidade e virar a explicação. E ele dá um segundo caminho, independente do \(Q\), que serve direto para a Série 2.
Fato puramente algébrico: qualquer matriz quadrada se separa em duas, de um jeito só:
$$L = \underbrace{\tfrac12\big(L+L^{\mathsf T}\big)}_{D\ \text{(simétrica)}} \;+\; \underbrace{\tfrac12\big(L-L^{\mathsf T}\big)}_{W\ \text{(antissimétrica)}}$$Confira: somando as duas parcelas dá \(L\); a primeira é igual à sua transposta, a segunda é menos a sua transposta. É a mesma ideia de escrever uma função como parte par mais parte ímpar.
Agora dê significado físico. Imagine um corpo qualquer — não necessariamente rígido — e um campo de velocidades. Perto de um ponto \(A\), qualquer campo suave se parece com
$$\vec v(P) \approx \vec v_A + L\,(P-A)$$onde \(L\) é a matriz de derivadas do campo (o gradiente). Separando \(L = D + W\):
Mostre que "o corpo é rígido" força \(D = 0\). Roteiro: pegue dois pontos \(P\) e \(Q\) do corpo, escreva \(\vec d = P - Q\), e imponha que \(|\vec d|^2\) seja constante. Derive e use \(\dot{\vec d} = L\vec d\). O que você obtém sobre a forma quadrática \(\vec d\cdot L\vec d\)?
\(\frac{d}{dt}(\vec d\cdot\vec d) = 2\,\vec d\cdot\dot{\vec d} = 2\,\vec d\cdot L\vec d = 0\) para toda separação \(\vec d\) possível dentro do corpo.
Agora note que \(\vec d\cdot W\vec d = 0\) automaticamente para qualquer antissimétrica (troque \(\vec d\) de lado com a §A4: \(\vec d\cdot W\vec d = W^{\mathsf T}\vec d\cdot \vec d= -\vec d\cdot W\vec d\), logo é zero). Então sobra \(\vec d\cdot D\vec d = 0\) para todo \(\vec d\).
E uma simétrica cuja forma quadrática se anula em todo vetor é a matriz nula: tome \(\vec d = \hat e_i\) e saem os \(D_{ii} = 0\); tome \(\vec d = \hat e_i + \hat e_j\) e sobra \(2D_{ij} = 0\). Logo \(D = 0\) e só a parte antissimétrica sobrevive.
Um campo de velocidades geral tem 9 números (o \(L\)). Rigidez mata os 6 da parte simétrica e deixa os 3 da antissimétrica. Os "3 graus de liberdade de rotação" do corpo rígido são literalmente as 3 casas livres de uma matriz antissimétrica. Somando as 3 da translação (\(\vec v_A\)), dá os 6 graus de liberdade de um corpo rígido que todo livro cita sem explicar de onde vêm.
O campo \(\vec v = L\vec x\) desenhado sobre um disco de material. Mexa na parte simétrica \(D\) (estica e cisalha) e na antissimétrica \(W\) (gira). Olhe a distância entre os dois pontos marcados: ela só fica congelada quando \(D\) é zero.
Uma matriz antissimétrica \(3\times3\) tem a diagonal zerada e o triângulo de baixo determinado pelo de cima. Sobram 3 números livres. Batize-os \(\omega_1,\omega_2,\omega_3\) e arrume assim:
$$\Omega=\begin{pmatrix} 0 & -\omega_3 & \omega_2\\ \omega_3 & 0 & -\omega_1\\ -\omega_2 & \omega_1 & 0\end{pmatrix}$$Multiplique essa matriz por um vetor genérico \(\vec u = (u_1,u_2,u_3)\), linha por linha, e olhe bem para as três componentes que saíram. Você já viu esses três números juntos antes. Onde?
Linha a linha: \((\,\omega_2u_3-\omega_3u_2,\;\; \omega_3u_1-\omega_1u_3,\;\; \omega_1u_2-\omega_2u_1\,)\). É exatamente o produto vetorial:
$$\boxed{\;\Omega\,\vec u = \vec\omega\wedge\vec u\;}$$Combinando com o §B4 (\(\dot{\hat e}_j\) é a coluna \(j\) de \(\Omega\)): a derivada de qualquer versor do triedro é \(\vec\omega\wedge\hat e_j\). Esse é o teorema que gera a Lista 2 inteira, e você acabou de deduzi-lo.
Falta explicar por que os três números foram colocados naquelas casas. O critério é simples e vale a pena internalizar, porque é como você vai ler um \(\vec\omega\) de dentro de qualquer matriz:
| número | ocupa as casas | logo mistura as direções | ou seja, gira no plano | e por isso é a componente ao longo de |
|---|---|---|---|---|
| \(\omega_1\) | (3,2) e (2,3) | 2 e 3 | \(\hat e_2\hat e_3\) | \(\hat e_1\) |
| \(\omega_2\) | (1,3) e (3,1) | 3 e 1 | \(\hat e_3\hat e_1\) | \(\hat e_2\) |
| \(\omega_3\) | (2,1) e (1,2) | 1 e 2 | \(\hat e_1\hat e_2\) | \(\hat e_3\) |
Cada número de \(\Omega\) é a velocidade de giro num plano, e o nome que damos a ele é o eixo perpendicular a esse plano. Essa tabela é a ferramenta prática mais útil desta página: com ela, você lê o \(\vec\omega\) de qualquer matriz antissimétrica em cinco segundos — inclusive da matriz de Frenet–Serret, em §C1.
Prove que toda matriz antissimétrica \(3\times3\) apaga alguma direção — sem usar a fórmula \(\Omega\vec u = \vec\omega\wedge\vec u\). Dica: calcule \(\det\Omega\) usando \(\det(A^{\mathsf T}) = \det A\), depois \(\Omega^{\mathsf T} = -\Omega\), e por fim \(\det(kA) = k^n\det A\) da §A5.
Um número igual ao seu próprio negativo é zero: \(\det\Omega = 0\). Pela §A6, existe \(\vec x\neq\vec 0\) com \(\Omega\vec x = \vec 0\). Essa direção apagada é o eixo.
Olhe o passo decisivo: o expoente \(3\) em \((-1)^3\). Se a dimensão fosse par, \((-1)^n = +1\) e a conta não diria nada. O eixo de rotação existe porque 3 é ímpar.
E o eixo é único: o posto de uma matriz antissimétrica é sempre par (0 ou 2 em \(3\times3\)), então o núcleo tem dimensão 3 (nada gira) ou exatamente 1 — uma reta, nunca um plano. Quem é essa reta? Aplicando \(\Omega\) no próprio \(\vec\omega\): \(\vec\omega\wedge\vec\omega = \vec 0\). O eixo é o próprio \(\vec\omega\), como tinha que ser.
Decomponha \(\vec u\) em componente ao longo de \(\vec\omega\) e componente no plano perpendicular. A primeira é aniquilada. Na segunda, \(\Omega\) age como \(|\vec\omega|\) vezes uma rotação de 90°. Teste com \(\vec\omega = \omega\hat k\): \(\Omega(1,0,0) = (0,\omega,0)\) — girou um quarto de volta e multiplicou por \(\omega\).
"Derivar um vetor carregado por um corpo rígido" = apague a parte ao longo do eixo, gire o resto 90°, multiplique por \(|\vec\omega|\). Essa é a receita do produto vetorial. Ele não foi escolhido para a Mecânica: ele é o que uma matriz antissimétrica faz.
Aqui vale trocar uma imagem por outra, melhor. Uma rotação instantânea não é "um eixo": é um plano onde as coisas giram, mais uma velocidade. Em \(\mathbb R^3\), todo plano tem uma única normal, então damos nome ao plano apontando para fora dele — e chamamos isso de \(\vec\omega\). É um apelido excelente, e é um privilégio da dimensão 3. Conte os planos independentes, que são os pares \(i Escolha um \(\vec\omega\) e veja o triedro girar. A tabela abaixo é calculada numericamente a partir do movimento desenhado — \(\Omega_{ij} = \hat e_i\cdot\dot{\hat e}_j\), por diferença finita. Ninguém impôs antissimetria: ela aparece. Até aqui fomos de \(Q\) para \(\Omega\) derivando. O caminho de volta é uma equação diferencial. De \(\Omega = Q^{\mathsf T}\dot Q\), multiplicando por \(Q\) à esquerda e usando \(QQ^{\mathsf T} = I\): Se \(\Omega\) é constante, isso é a versão matricial de \(\dot y = ay\). E a solução é a mesma, com a mesma série: Escreva \(\Omega = \theta'\,K\), com \(K\) antissimétrica de eixo unitário. Calcule \(K^2\) e \(K^3\) para o caso simples \(K\) = giro no plano \(xy\) (eixo \(\hat k\)) e procure um padrão. O que acontece com a série infinita? Com \(K = \begin{pmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}\): \(K^2\) é menos a identidade no plano \(xy\) (e zero no eixo), e \(K^3 = -K\). Isso vale para qualquer eixo unitário. Com \(K^3 = -K\), as potências só ciclam entre \(K\) e \(K^2\). Separe a série nos termos ímpares e pares e você reconhece seno e cosseno: Isso é a fórmula de Rodrigues, e ela é uma rotação de ângulo \(\theta\) em torno do eixo de \(K\). Dentro do plano de rotação, \(K^2 = -I\). Ou seja: \(K\) age exatamente como a unidade imaginária \(i\). E aí a série \(\exp(\theta K)\) é a mesma série de \(e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\), vestida de matriz \(3\times3\). Seno e cosseno não foram introduzidos na rotação — eles são o que a exponencial faz quando o quadrado do gerador é \(-1\). O mesmo motivo pelo qual eles aparecem em oscilador harmônico e em circuito LC. Vale registrar a hierarquia completa, porque ela organiza a intuição: Rotações finitas não somam (gire 90° em \(x\) depois 90° em \(y\), depois inverta a ordem: dá diferente). Velocidades angulares somam. Isso parece contraditório e não é: a composição acontece em \(SO(3)\), onde a operação é produto de matrizes; a soma acontece em \(\mathfrak{so}(3)\), que é um espaço vetorial comum. Derivar no instante inicial transforma produto em soma — é o mesmo fenômeno de \(e^{a}e^{b} = e^{a+b}\) para números. Vamos usar isso explicitamente em §C5. Uma última consequência de "o objeto real é o plano". Sob uma reflexão num espelho, um vetor de verdade (posição, velocidade, força) reflete do jeito esperado. O \(\vec\omega\), não: ele ganha um sinal a mais, porque quem reflete é o plano, e a normal herda a inversão de orientação. Formalmente, para \(R\) ortogonal, \((R\vec a)\wedge(R\vec b) = \det(R)\;R(\vec a\wedge\vec b)\) — e o \(\det(R)\) só some quando \(\det R = +1\). Chamamos isso de pseudovetor (ou vetor axial). Na prática da Lista 2 isso quase nunca morde, porque todas as bases que a lista usa são dextrógiras. Mas explica uma coisa útil: sempre que um exercício manda usar "a regra da mão direita", ele está fixando uma convenção de orientação, não descrevendo um fato físico. Troque a convenção e todos os \(\vec\omega\) do problema mudam de sinal coerentemente — a física fica a mesma.
dimensão \(n\) planos independentes o que é "velocidade angular" tem eixo? 2 1 um escalar — só \(\dot\theta\) não faz sentido (o eixo sairia do plano) 3 3 um vetor \(\vec\omega\) — e \(n(n-1)/2 = n\) só aqui sim, e é único 4 6 6 números — não cabe num vetor de \(\mathbb R^4\) não: uma rotação genérica gira em dois planos §B7Passo 7 — da geradora de volta para a rotação: a exponencial
Confira depois de tentar
objeto o que é onde vive opera-se com \(Q\) a orientação (posição angular) \(SO(3)\) — superfície curva multiplicação (e não comuta) \(\Omega\) a velocidade angular (o gerador) \(\mathfrak{so}(3)\) — espaço vetorial plano de dimensão 3 soma (e comuta) \(\vec\omega\) o mesmo \(\Omega\), com nome de vetor \(\mathbb R^3\) soma e produto vetorial §B8Rodapé: \(\vec\omega\) não é um vetor honesto
Agora a colheita. Nada do que vem abaixo é fórmula nova: cada série é a §B com um triedro diferente escolhido. O trabalho intelectual, em todas, é o mesmo e cabe em duas perguntas: quem é o conjunto rígido de vetores? e quem é o \(\vec\omega\) dele?
No Módulo 1 você construiu \(\hat t, \hat n, \hat b\) geometricamente e chegou nas três equações (derivando em relação ao arco \(s\), não ao tempo):
$$\frac{d\hat t}{ds} = \kappa\,\hat n,\qquad \frac{d\hat n}{ds} = -\kappa\,\hat t + \tau\,\hat b,\qquad \frac{d\hat b}{ds} = -\tau\,\hat n$$Monte a matriz \(\Omega\) desse triedro, lembrando que a coluna \(j\) de \(\Omega\) são as componentes de \(\dot{\hat e}_j\) na própria base móvel (§B4). Depois use a tabela de posições do §B6 para ler o \(\vec\omega\). Sem consultar o Módulo 1.
Com \((\hat e_1,\hat e_2,\hat e_3) = (\hat t,\hat n,\hat b)\):
$$\Omega_{\text{Frenet}}=\begin{pmatrix} 0 & -\kappa & 0\\ \kappa & 0 & -\tau\\ 0 & \tau & 0\end{pmatrix}$$Ela é antissimétrica — e ninguém impôs isso, saiu da construção geométrica de \(\kappa\) e \(\tau\). Lendo pela tabela: \(\omega_1 = \Omega_{32} = \tau\), \(\omega_2 = \Omega_{13} = 0\), \(\omega_3 = \Omega_{21} = \kappa\). Logo
$$\vec\omega = \tau\,\hat t + \kappa\,\hat b \qquad\text{(vetor de Darboux)}$$E agora o Darboux deixa de ser fórmula e vira leitura:
Curva plana tem \(\tau = 0\): só o giro de curvatura, nenhum rolamento. Hélice tem os dois, e por isso o Darboux dela aponta numa direção fixa oblíqua.
A casa \((1,3)\) da matriz é zero: \(\hat t\) nunca vaza para \(\hat b\). Isso não é sorte — é a definição de \(\hat n\) aparecendo na matriz. \(\hat n\) foi definido como a direção de \(d\hat t/ds\); se essa derivada tivesse componente em \(\hat b\), \(\hat n\) não seria paralelo a ela. E é a mesma razão pela qual \(\vec a\) nunca tem componente em \(\hat b\).
O \(\vec\omega\) acima é por metro de arco, não por segundo. Para ter a velocidade angular do triedro no tempo, use a regra da cadeia: \(\vec\omega_{\text{tempo}} = v\,(\tau\hat t + \kappa\hat b)\), com \(v = ds/dt\). Trocar um pelo outro é um erro caro e silencioso.
A base \((\hat\imath, \vec\tau, \hat u)\) gira em torno do eixo do cilindro com velocidade \(\dot\theta\). O par de derivadas que os livros mandam decorar,
$$\dot{\hat u} = \dot\theta\,\vec\tau,\qquad \dot{\vec\tau} = -\dot\theta\,\hat u$$é só o teorema com \(\vec\omega = \dot\theta\,\hat\imath\). Confira: \(\dot\theta\,\hat\imath\wedge\hat u = \dot\theta\,\vec\tau\) e \(\dot\theta\,\hat\imath\wedge\vec\tau = -\dot\theta\,\hat u\). A matriz correspondente tem uma única casa livre, \(\Omega_{21} = \dot\theta\) — que é o caso \(n=2\) da tabela do §B6, encaixado dentro do 3D.
Se quiser ver a máquina inteira rodando num caso que cabe na mão, faça a conta com \(Q = \begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix}\) e calcule \(Q^{\mathsf T}\dot Q\). Todo seno e cosseno se cancela e sobra \(\begin{pmatrix}0&-\dot\theta\\ \dot\theta&0\end{pmatrix}\). Repare no que a multiplicação por \(Q^{\mathsf T}\) fez: descontou onde o triedro está, deixando só quão rápido ele gira. É o papel dela em toda a §B.
Aqui o triedro não é acessório de uma curva: são três direções gravadas no próprio corpo. Sejam \(A\) e \(P\) dois pontos do corpo. O vetor \(P - A\) está preso ao corpo, então suas componentes na base do corpo são constantes. Chame-as de \(\vec c\). Em coordenadas fixas:
$$P - A = Q\,\vec c,\qquad \vec c \text{ constante}$$Derive a expressão acima no tempo e chegue na fórmula fundamental do corpo rígido. Dica: você vai precisar de \(\dot Q\) escrito com a matriz antissimétrica vista da base fixa, que é \(W = \dot Q Q^{\mathsf T}\) — verifique primeiro que \(\dot Q = WQ\).
\(\dot Q = WQ\) sai de \(W = \dot QQ^{\mathsf T}\) multiplicando por \(Q\) à direita. Então
$$\vec v_P - \vec v_A = \frac{d}{dt}(Q\vec c) = \dot Q\vec c = WQ\vec c = W\,(P-A) = \vec\omega\wedge(P-A)$$ $$\boxed{\;\vec v_P = \vec v_A + \vec\omega\wedge(P-A)\;}$$Três linhas, e a fórmula que abre a Série 2 está deduzida — sem nenhuma figura de "velocidade tangencial".
Duas consequências que os exercícios cobram e que ficam óbvias com essa dedução:
E note que esta é a mesma conclusão do §B5 por outro caminho: lá, a rigidez matou a parte simétrica do gradiente do campo de velocidades e sobrou \(W\); aqui, ela apareceu como \(\dot QQ^{\mathsf T}\). Dois caminhos, uma matriz.
A pergunta da Série 3 é: existe um ponto do plano com velocidade nula? Escreva a pergunta como equação, usando §C3 com \(\vec v_P = \vec 0\):
$$\vec v_A + \vec\omega\wedge(P-A) = \vec 0 \qquad\Longleftrightarrow\qquad \Omega\,(P-A) = -\vec v_A$$Isso é um sistema linear com incógnita \(P - A\). E a §A6 já nos deu o critério inteiro: tem solução única se e só se o determinante não for zero.
No plano, \(\vec\omega = \omega\hat k\) e tudo mora em duas dimensões, então \(\Omega\) restrita ao plano é \(\begin{pmatrix}0&-\omega\\ \omega&0\end{pmatrix}\). Calcule o determinante dela. Quando o sistema tem solução única? Ache \(P\) explicitamente. E o que acontece com \(P\) quando \(\omega\to 0\)?
\(\det = 0\cdot 0 - (-\omega)(\omega) = \omega^2\). Diferente de zero sempre que \(\omega\neq 0\) — então o CIR existe e é único em toda rotação plana. Invertendo (a inversa de uma rotação de 90° é a de \(-90°\)):
$$P = A + \frac{\hat k\wedge\vec v_A}{\omega}$$Leitura geométrica: ande a partir de \(A\) numa direção perpendicular a \(\vec v_A\), a uma distância \(|\vec v_A|/\omega\).
Quando \(\omega\to0\), o determinante vai a zero e \(P\) foge para o infinito — que é exatamente a descrição correta de uma translação pura: "rotação em torno de um ponto infinitamente distante". Não é força de expressão; é o que o sistema linear responde.
Campo de velocidades de uma placa rígida. Mexa em \(\vec v_A\) e em \(\omega\) e observe o CIR (círculo roxo) obedecer à fórmula. Diminua \(\omega\) até quase zero e veja o determinante — e o CIR — irem embora juntos.
A mesma equação \(\Omega(P-A) = -\vec v_A\) no espaço esbarra no resultado do §B6: \(\det\Omega = 0\) sempre. Logo o sistema não tem solução para qualquer \(\vec v_A\). Quais ele resolve? Só os \(\vec v_A\) que estão na imagem de \(\Omega\) — e a imagem de \(\Omega\) é o plano perpendicular a \(\vec\omega\).
Decompondo \(\vec v_A = \vec v_\parallel + \vec v_\perp\) (paralela e perpendicular a \(\vec\omega\)): você consegue anular \(\vec v_\perp\), nunca \(\vec v_\parallel\). Mais que isso — a componente paralela é a mesma para todos os pontos do corpo, porque \((\vec\omega\wedge\vec d)\cdot\vec\omega = 0\) para qualquer \(\vec d\): o produto vetorial nunca adiciona nada ao longo do eixo. Ela é um invariante do movimento, não dá para escolher um ponto melhor.
O melhor que existe é uma reta onde só sobra o deslizamento axial:
$$P = A + \frac{\vec\omega\wedge\vec v_A}{|\vec\omega|^2} + \lambda\,\vec\omega,\qquad \vec v_P = \vec v_\parallel$$"Existe CIR?" é a pergunta "esse determinante é zero?". No plano, \(\det = \omega^2 \neq 0\) e a resposta é um ponto. No espaço, \(\det\Omega = 0\) e a resposta é uma reta com deslizamento. Você não precisa lembrar dos dois teoremas separadamente — eles são o mesmo sistema linear, em duas dimensões diferentes.
Um referencial gira dentro de outro que já gira. Se o corpo tem orientação \(Q_2\) dentro do referencial intermediário, e o intermediário tem orientação \(Q_1\) dentro do fixo, então a orientação total é a composição: \(Q = Q_1Q_2\).
Calcule \(W = \dot QQ^{\mathsf T}\) para \(Q = Q_1Q_2\). Use a regra do produto e \(Q_2Q_2^{\mathsf T} = I\). Você deve chegar em algo da forma \(W_1 + (\text{alguma coisa})\). Depois interprete essa "alguma coisa" com a fórmula de mudança de base da §A8.
O termo \(Q_1W_2Q_1^{\mathsf T}\) é exatamente \(W_2\) traduzido para a base fixa (§A8). Em linguagem de vetores, isso é \(Q_1\vec\omega_2\) — o \(\vec\omega_2\) reescrito nas coordenadas de fora. Logo, com tudo escrito na mesma base:
$$\boxed{\;\vec\omega = \vec\omega_1 + \vec\omega_2\;}$$As velocidades angulares somam porque as matrizes antissimétricas formam um espaço vetorial (§B7), e a conjugação \(Q_1(\cdot)Q_1^{\mathsf T}\) é só a tradução de idioma. A soma não é uma aproximação nem uma convenção: é exata.
Seja \(\vec u\) um vetor qualquer — a posição de uma formiga andando num disco que gira, por exemplo. Escreva as componentes dele na base móvel como \(\vec a(t)\); em coordenadas fixas, \(\vec u = Q\vec a\). Derive, usando \(\dot Q = WQ\):
$$\dot{\vec u} = \dot Q\vec a + Q\dot{\vec a} = W\,Q\vec a + Q\dot{\vec a} = \vec\omega\wedge\vec u + \underbrace{Q\dot{\vec a}}_{\text{o que a formiga faz}}$$ $$\boxed{\;\left(\frac{d\vec u}{dt}\right)_{\text{fixo}} = \left(\frac{d\vec u}{dt}\right)_{\text{relativa}} + \vec\omega\wedge\vec u\;}$$Em palavras: variação total = o que a formiga faz andando + o que o disco faz carregando a formiga. É a regra do produto aplicada a \(Q\vec a\), e nada mais. O termo \(x\,\dot{\hat\imath}\) que o §1.1 do Módulo 1 mandou guardar no bolso é justamente o \(\dot Q\vec a\).
Com \(\vec\rho = Q\vec a\) (posição relativa à origem móvel), a primeira derivada dá \(\dot{\vec\rho} = \vec\omega\wedge\vec\rho + \vec v_{\text{rel}}\), onde \(\vec v_{\text{rel}} = Q\dot{\vec a}\). Derivando de novo, com cuidado para aplicar a regra do produto em cada parcela:
$$\ddot{\vec\rho} = \underbrace{\dot{\vec\omega}\wedge\vec\rho}_{\text{Euler}} + \underbrace{\vec\omega\wedge(\vec\omega\wedge\vec\rho)}_{\text{centrípeta}} + \underbrace{\vec\omega\wedge\vec v_{\text{rel}}}_{\text{de dentro do } \vec\omega\wedge\dot{\vec\rho}} + \underbrace{\vec\omega\wedge\vec v_{\text{rel}}}_{\text{de } \dot Q\dot{\vec a}} + \underbrace{\vec a_{\text{rel}}}_{Q\ddot{\vec a}}$$Porque o termo aparece duas vezes, de dois lugares diferentes: uma vez quando você deriva \(\vec\omega\wedge\vec\rho\) e o \(\dot{\vec\rho}\) traz o \(\vec v_{\text{rel}}\) junto; outra vez quando você deriva \(Q\dot{\vec a}\) e o \(\dot Q\) produz mais um \(\vec\omega\wedge\). Os dois somam, e daí o 2. Não é um fator de correção empírico — é dupla contagem legítima da mesma regra do produto.
Repare que a Série 4 inteira saiu de \(\frac{d}{dt}(Q\vec a)\) — a mesma expressão que abriu a §B. Do começo ao fim, a Lista 2 é a regra do produto aplicada a um produto de matriz ortogonal por vetor. Quatro séries, uma linha.
Esta parte é utilitária. São quatro ferramentas que você já usa resolvendo exercício, aqui reescritas na linguagem da §A — porque escritas assim elas param de ser fórmulas para decorar.
Quando você escreve \(\vec a = a_t\,\hat t + a_n\,\hat n\), você está projetando. A projeção sobre uma direção unitária \(\hat t\) é \((\vec a\cdot\hat t)\,\hat t\) — e isso é uma transformação linear de \(\vec a\), então tem matriz:
$$P = \hat t\,\hat t^{\mathsf T}$$(um vetor coluna vezes um vetor linha dá uma matriz — é o "produto externo", o irmão esquecido do produto escalar). Duas propriedades que valem a pena checar na mão: \(P^{\mathsf T} = P\) (é simétrica, portanto deforma, não gira — §B5) e \(P^2 = P\) (projetar duas vezes é projetar uma; a segunda não tem mais o que tirar).
E o complemento \(I - P\) projeta no plano perpendicular a \(\hat t\). Assim:
$$\vec a_t = (\hat t\hat t^{\mathsf T})\,\vec a, \qquad \vec a_n = (I - \hat t\hat t^{\mathsf T})\,\vec a$$Usando \(\vec v = v\hat t\) e \(\vec a = a_t\hat t + a_n\hat n\), deduza as três fórmulas do kit do Módulo 1: (i) \(a_t = \vec v\cdot\vec a/v\); (ii) \(|\vec v\wedge\vec a| = v^3/\rho\); (iii) \(\hat b = \vec v\wedge\vec a/|\vec v\wedge\vec a|\). Dica para (ii): calcule \(\vec v\wedge\vec a\) distribuindo e lembre que \(\hat t\wedge\hat t = \vec 0\).
(i) \(\vec v\cdot\vec a = v\hat t\cdot(a_t\hat t + a_n\hat n) = v\,a_t\), logo \(a_t = \vec v\cdot\vec a/v\). O \(\hat n\) morreu porque é perpendicular a \(\hat t\).
(ii) \(\vec v\wedge\vec a = v\hat t\wedge(a_t\hat t + a_n\hat n) = v\,a_n\,(\hat t\wedge\hat n) = v\,a_n\,\hat b\). Como \(a_n = v^2/\rho\), o módulo é \(v\cdot v^2/\rho = v^3/\rho\).
(iii) Cai de graça da conta acima: \(\vec v\wedge\vec a\) já é um múltiplo positivo de \(\hat b\), então normalizar dá \(\hat b\). Os três resultados do kit são uma conta só, feita com projeções.
O produto misto \((\vec a\wedge\vec b)\cdot\vec c\) é o determinante da matriz que tem \(\vec a,\vec b,\vec c\) nas linhas, que pela §A5 é o volume orientado do paralelepípedo formado pelos três. Dessa única frase saem, sem decorar:
E a identidade do duplo produto vetorial, que aparece na aceleração centrípeta e na dedução do eixo helicoidal:
$$\vec a\wedge(\vec b\wedge\vec c) = \vec b\,(\vec a\cdot\vec c) - \vec c\,(\vec a\cdot\vec b)$$A forma de lembrar sem decorar ordem de letras: o resultado é perpendicular a \(\vec b\wedge\vec c\), portanto está no plano de \(\vec b\) e \(\vec c\) — só pode ser uma combinação desses dois. Os coeficientes são produtos escalares com o vetor de fora, e o sinal de menos vai no que está mais "para dentro" dos parênteses.
Existem duas matrizes antissimétricas na história, e trocar uma pela outra estraga conta:
| definição | componentes escritas na | onde aparece | |
|---|---|---|---|
| \(\Omega\) | \(Q^{\mathsf T}\dot Q\) | base móvel (a que gira junto) | Frenet–Serret, base cilíndrica |
| \(W\) | \(\dot QQ^{\mathsf T}\) | base fixa (a do laboratório) | fórmula do corpo rígido, CIR |
As duas são o mesmo movimento em idiomas diferentes: \(W = Q\Omega Q^{\mathsf T}\), que é a fórmula de mudança de base da §A8. Em linguagem de vetores:
$$\vec\omega_{\text{fixa}} = Q\,\vec\omega_{\text{móvel}}$$Analogia: você dirige numa rotatória. O velocímetro mede sua velocidade em relação ao chão que passa embaixo (instrumento que gira junto); um radar na beira mede a mesma velocidade em coordenadas do mapa. Mesmo movimento, duas réguas, dois conjuntos de números.
O Darboux \(\vec\omega = \tau\hat t + \kappa\hat b\) está escrito na base móvel. Se o exercício pede \(\vec\omega\) em \((\hat\imath,\hat\jmath,\hat k)\), você precisa substituir \(\hat t\) e \(\hat b\) pelas componentes cartesianas deles naquele instante. Escrever os dois conjuntos de números no mesmo vetor é o erro do §A1 acontecendo de novo.
Um mecanismo plano impõe vínculos: este ponto anda só na horizontal, aquele só na vertical, aquela barra tem comprimento fixo. Cada vínculo vira uma equação; as incógnitas são as velocidades e os \(\omega\). O resultado é sempre um sistema linear, e §A6 governa tudo.
Barra \(AB\) com \(A = (a,0)\) deslizando num trilho horizontal (velocidade \(v_A\) conhecida, na direção \(x\)) e \(B = (0,b)\) num trilho vertical (velocidade \(v_B\) desconhecida, na direção \(y\)). A incógnita extra é \(\omega\). Monte o sistema com \(\vec v_B = \vec v_A + \omega\hat k\wedge(B-A)\), ache a matriz dos coeficientes e o determinante. Em que posição o mecanismo trava?
Com \(B - A = (-a, b, 0)\), temos \(\omega\hat k\wedge(B-A) = \omega(-b, -a, 0)\). Componente a componente:
x: \(0 = v_A - \omega b\) · y: \(v_B = -\omega a\)
Nas incógnitas \((\omega, v_B)\), a matriz dos coeficientes é \(\begin{pmatrix}-b & 0\\ a & 1\end{pmatrix}\), com \(\det = -b\).
O determinante zera quando \(b = 0\) — a barra deitada no trilho horizontal. Nessa posição o sistema não tem solução (a não ser com \(v_A = 0\)): é o ponto morto do mecanismo, e a álgebra linear avisa antes de você tentar desenhar o CIR. Repare também que \(\omega = v_A/b \to \infty\) quando \(b\to 0\): a matemática grita antes de travar.
Escreva uma equação vetorial por vínculo, separe em componentes, empilhe numa matriz, calcule o determinante. Determinante \(\neq 0\) → configuração normal, solução única. Determinante \(= 0\) → ponto morto, ou movimento indeterminado. É o mesmo critério do CIR (§C4) e do eixo (§B6), pela terceira vez.
Se algo do guia não fechar, é quase sempre porque uma destas peças está solta. Use como diagnóstico:
| Se você trava em… | a peça de álgebra linear é… | seção |
|---|---|---|
| por que a derivada de um versor é perpendicular a ele | produto escalar constante + regra do produto | §A3, §B4 |
| por que aparece produto vetorial em tudo | antissimétrica 3×3 tem 3 números livres e age como \(\vec\omega\wedge\) | §B6 |
| por que existe um eixo de rotação | determinante de antissimétrica ímpar é zero → núcleo | §A5, §A6, §B6 |
| por que Frenet–Serret tem essa cara | é o \(\Omega\) do triedro; as casas são planos de giro | §B4, §C1 |
| por que \(\vec v_B = \vec v_A + \vec\omega\wedge(B-A)\) | derivar \(Q\vec c\) com \(\vec c\) constante | §C3 |
| por que o CIR existe (e por que some) | sistema linear com \(\det = \omega^2\) | §A6, §C4 |
| por que no espaço vira eixo helicoidal | \(\det\Omega = 0\): a componente axial é invariante | §C4 |
| por que \(\vec\omega\) de dois giros soma | \(\mathfrak{so}(3)\) é espaço vetorial; conjugação = mudar de base | §A8, §B7, §C5 |
| por que Coriolis tem fator 2 | regra do produto aplicada duas vezes em \(Q\vec a\) | §C5 |
| por que um mecanismo trava numa posição | determinante do sistema de vínculos vai a zero | §D4 |
| por que rotação finita não soma mas \(\vec\omega\) soma | grupo curvo × espaço tangente plano | §B7 |
Três portas que se abrem assim que essa maquinaria está no lugar — nenhuma é da Lista 2, mas todas estão a um passo:
\(\vec L = \mathbf I\,\vec\omega\) é uma transformação linear, e \(\mathbf I\) é simétrica — o oposto de \(\Omega\). Pelo teorema espectral, ela tem base ortonormal de autovetores: são os eixos principais. Por isso \(\vec L\) quase nunca é paralelo a \(\vec\omega\), e por isso existe um jeito de escolher eixos onde ele é.
Simétrica: autovetores reais, estica ao longo deles. Antissimétrica: nenhum autovetor real fora do eixo, gira. Toda matriz é a soma das duas (§B5). Deformação e rotação são literalmente as duas metades de uma matriz.
Aquele fato de \(K\) se comportar como \(i\) (§B7) não é coincidência: existe uma cópia dos números complexos dentro de cada plano de rotação. Levar isso a sério em 3D produz os quatérnions, que é como toda simulação e todo drone guardam orientação hoje.
Os códigos desta página não colidem com os dos módulos: aqui é §A–§E e R1–R17, lá é §0–§7. Algumas formas de pergunta que rendem: