Cinemática da partícula, sem decorar nada

Antes de qualquer conta, vale saber para onde você está indo. Olhe o que a sua lista pede, série por série:

• Série 1 — um ponto anda numa curva; ache o triedro t̂, n̂, b̂ e o raio de curvatura.
• Série 2 — um corpo rígido se move; ache o vetor rotação \(\vec\omega\).
• Série 3 — mecanismos planos; ache o centro instantâneo de rotação.
• Série 4 — referencial móvel; ache a aceleração de Coriolis.

Parecem quatro assuntos. São quatro consequências da mesma frase:

Trocando as fantasias:

Se você entender uma vez, direito, por que a derivada de um versor é um produto vetorial, você não vai precisar decorar nenhuma das fórmulas das quatro séries. Elas se deduzem em três linhas cada. É isso que este módulo vai fazer.

§1.1Posição é uma função vetorial, e só

A trajetória de um ponto \(P\) é uma função que leva tempo em ponto do espaço. Fixando uma origem \(O\), ela vira uma função vetorial \(\vec r(t) = P - O\). Numa base fixa \((\hat\imath, \hat\jmath, \hat k)\),

$$\vec r(t) = x(t)\,\hat\imath + y(t)\,\hat\jmath + z(t)\,\hat k$$

e, porque os versores são constantes, derivar é derivar componente a componente:

$$\vec v = \dot x\,\hat\imath + \dot y\,\hat\jmath + \dot z\,\hat k, \qquad \vec a = \ddot x\,\hat\imath + \ddot y\,\hat\jmath + \ddot z\,\hat k$$

Repare no porque. A regra do produto diz \(\frac{d}{dt}(x\,\hat\imath) = \dot x\,\hat\imath + x\,\dot{\hat\imath}\). O segundo termo some porque \(\dot{\hat\imath} = \vec 0\). Essa é a única coisa especial da base cartesiana fixa: ela não se mexe.

§1.2O Lema: comprimento constante ⟹ derivada perpendicular

Este é o pilar. Seja \(\vec u(t)\) um vetor de módulo constante. Então:

1. \(\vec u \cdot \vec u = |\vec u|^2 = \text{constante}\).
2. Derive os dois lados. O produto escalar obedece à regra do produto: \(\dot{\vec u}\cdot\vec u + \vec u\cdot\dot{\vec u} = 0\).
3. Logo \(2\,\vec u\cdot\dot{\vec u} = 0\), ou seja, \(\boxed{\;\vec u \perp \dot{\vec u}\;}\)

Três linhas. E a intuição é ainda mais curta: se a ponta do vetor está presa a uma esfera de raio fixo, ela só pode se mover tangente à esfera — qualquer componente radial mudaria o raio. Derivada = velocidade da ponta. Tangente à esfera = perpendicular ao raio.

§1.3A versão em álgebra linear (e por que aparece um produto vetorial)

Agora a mesma coisa com três vetores de uma vez. Ponha um triedro ortonormal móvel nas colunas de uma matriz \(Q(t)\). "Ortonormal" é exatamente a equação matricial

$$Q^{\mathsf T} Q = I$$

Derive dos dois lados: \(\dot Q^{\mathsf T}Q + Q^{\mathsf T}\dot Q = 0\). Chamando \(\Omega = Q^{\mathsf T}\dot Q\), isso diz \(\Omega^{\mathsf T} = -\Omega\): \(\Omega\) é antissimétrica. Não é escolha, é consequência. O conjunto das matrizes que preservam comprimentos e ângulos é o grupo \(SO(3)\), e a "velocidade" permitida dentro dele é sempre antissimétrica — a álgebra de Lie \(\mathfrak{so}(3)\).

Uma matriz antissimétrica \(3\times 3\) tem só três números livres:

$$\Omega=\begin{pmatrix} 0 & -\omega_3 & \omega_2\\ \omega_3 & 0 & -\omega_1\\ -\omega_2 & \omega_1 & 0\end{pmatrix} \qquad\Longrightarrow\qquad \Omega\,\vec u = \vec\omega \wedge \vec u$$

com \(\vec\omega=(\omega_1,\omega_2,\omega_3)\). Confira multiplicando: dá o produto vetorial linha por linha. É por isso que aparece um produto vetorial na Mecânica inteira. Não é uma convenção nem um truque de notação — é que em \(\mathbb R^3\), e só em \(\mathbb R^3\), o espaço das matrizes antissimétricas tem dimensão 3 e pode ser identificado com os próprios vetores.

Por que exatamente 3 números? (o argumento de contagem)

Uma matriz \(3\times3\) tem 9 entradas. A condição \(Q^{\mathsf T}Q = I\) impõe: 3 equações de norma (\(|c_i|=1\)) e 3 de ortogonalidade (\(c_i\cdot c_j=0\), \(i\lt j\)) — 6 vínculos. Sobram \(9-6=3\) graus de liberdade. São os três ângulos de uma rotação, e são os três componentes de \(\vec\omega\). Em \(\mathbb R^n\) sobram \(n(n-1)/2\); só em \(n=3\) isso é igual a \(n\), e só por isso o "vetor rotação" existe como vetor.

→ Complementos: esta seção é a versão curta. A dedução completa, feita passo a passo com você — inclusive por que \(Q^{\mathsf T}Q\) é a tabela de produtos escalares, e por que o eixo existe porque 3 é ímpar — está em §B1 a §B7, com a matriz \(\Omega\) se preenchendo ao vivo na visualização W3.

Até aqui a trajetória foi descrita por uma base que não sabe nada sobre ela. A ideia de Frenet é o oposto: construir a base a partir da própria curva. E o jeito de fazer isso é parar de usar o tempo como parâmetro.

§2.1Trocar o tempo pelo comprimento de arco

Defina \(s(t)\) como a distância percorrida ao longo da trajetória. Como a distância percorrida em \(dt\) é \(|\vec v|\,dt\),

$$\frac{ds}{dt} = |\vec v| \;\equiv\; v \qquad\text{(a "velocidade escalar")}$$

Aqui mora uma confusão que custa nota: \(v\) sem seta é \(|\vec v|\), o módulo — nunca uma componente com sinal. E \(s\) é uma coordenada geométrica: ela existe na curva mesmo que ninguém esteja andando nela. Reparametrizar por \(s\) é separar o desenho da trajetória (geometria) de como você a percorre (horário).

§2.2Por que a velocidade é tangente — sem decorar

Derive \(\vec r(s(t))\) pela regra da cadeia:

$$\vec v = \frac{d\vec r}{dt} = \frac{d\vec r}{ds}\,\frac{ds}{dt} = \frac{d\vec r}{ds}\,v$$

E \(\frac{d\vec r}{ds}\) é automaticamente unitário: é um deslocamento dividido pelo comprimento desse mesmo deslocamento. Batize-o de \(\hat t\). Resultado:

$$\boxed{\;\vec v = v\,\hat t\;}$$

Ou seja: "a velocidade é tangente à trajetória" não é um fato empírico sobre movimento — é o que a regra da cadeia devolve quando você parametriza pelo arco. A direção tangente é definida pelo vetor velocidade.

§2.3Curvatura: quanto a direção gira por metro andado

\(\hat t\) tem módulo 1. Pelo Lema (§1.2), \(\dfrac{d\hat t}{ds} \perp \hat t\). Defina

$$\frac{d\hat t}{ds} = \kappa\,\hat n, \qquad \kappa = \left|\frac{d\hat t}{ds}\right| \ge 0, \qquad \rho = \frac{1}{\kappa}$$

\(\hat n\) é a normal principal, unitária por construção, e \(\kappa\) é a curvatura. Leia as unidades: \(\hat t\) é adimensional, \(s\) é metro, então \(\kappa\) é radiano por metro. Curvatura é a taxa de giro da direção por unidade de distância percorrida — não por unidade de tempo. Uma curva não fica mais curva porque você acelera nela.

Teste no círculo de raio \(R\): para girar a direção de \(\Delta\theta\) você percorre \(\Delta s = R\,\Delta\theta\). Então \(\kappa = \Delta\theta/\Delta s = 1/R\), e \(\rho = R\). O raio de curvatura de um círculo é o raio do círculo — como tinha que ser. Para uma reta, a direção nunca gira: \(\kappa = 0\), \(\rho=\infty\).

§2.4A decomposição da aceleração cai no colo

Agora é só derivar \(\vec v = v\,\hat t\) pela regra do produto:

$$\vec a = \frac{d}{dt}\big(v\,\hat t\big) = \dot v\,\hat t + v\,\frac{d\hat t}{dt}$$

E \(\dfrac{d\hat t}{dt} = \dfrac{d\hat t}{ds}\dfrac{ds}{dt} = \kappa\,\hat n \cdot v\). Substituindo:

$$\boxed{\;\vec a = \underbrace{\dot v}_{a_t}\,\hat t \;+\; \underbrace{\frac{v^2}{\rho}}_{a_n}\,\hat n\;}$$

Leia o que isso diz, em português:

• \(a_t = \dot v\) — só mexe no quanto você anda. É a única parte que acelera ou freia. Tem sinal: negativo é frear.
• \(a_n = v^2/\rho \ge 0\) — só mexe na direção. É a parte que vira. Sempre aponta para dentro da curva.
• Não existe componente em \(\hat b\). A aceleração mora sempre no plano \((\hat t,\hat n)\) — o plano osculador. Isso é um resultado, não uma hipótese, e é uma checagem grátis nas suas contas.

E os dois efeitos são independentes: dá para acelerar em linha reta (\(a_n=0\)), virar sem acelerar (\(a_t=0\), movimento circular uniforme — o caso do L2-1.4), ou os dois juntos.

§2.5O círculo osculador: o que a curva "acha" que é

Entre todos os círculos que passam por \(P\), existe um único que encosta na curva com a mesma tangente e a mesma curvatura: raio \(\rho\), centro em \(P + \rho\,\hat n\). É o círculo osculador ("osculador" = que beija).

A leitura física: naquele instante, o movimento é indistinguível de um movimento sobre esse círculo, com aquela velocidade. Por isso \(a_n = v^2/\rho\) é literalmente a fórmula do movimento circular \(v^2/R\) — com \(R\) sendo o raio do círculo que a curva está imitando ali. A trajetória é uma sucessão de pedacinhos de círculos de raios diferentes.

§2.6\(\hat b\), o plano osculador e o teste de movimento plano

Complete a base: \(\hat b = \hat t \wedge \hat n\), o binormal. Ele é normal ao plano \((\hat t,\hat n)\), que é o plano osculador — o plano onde a curva "mora localmente".

Se a curva for plana, o plano osculador é sempre o mesmo, logo \(\hat b\) é constante. Se a curva sair do plano, \(\hat b\) tem que girar, e a taxa desse giro é a torção \(\tau\):

$$\frac{d\hat b}{ds} = -\tau\,\hat n$$

(O sinal é convenção; o \(\hat n\) do lado direito vem do Lema de novo — \(\hat b\) é unitário, então \(d\hat b/ds \perp \hat b\); e é possível mostrar que também é \(\perp \hat t\), sobrando só a direção \(\hat n\).) Portanto:

§2.7Frenet–Serret é a matriz antissimétrica do §1.3

Junte as três derivadas. Com \(\hat n = \hat b \wedge \hat t\), sai \(\frac{d\hat n}{ds} = -\kappa\,\hat t + \tau\,\hat b\), e o sistema completo é:

$$\frac{d}{ds}\begin{pmatrix}\hat t\\ \hat n\\ \hat b\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & \kappa & 0\\ -\kappa & 0 & \tau\\ 0 & -\tau & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\hat t\\ \hat n\\ \hat b\end{pmatrix}$$

Olhe a matriz. Antissimétrica — exatamente como §1.3 previu, sem que a gente tenha imposto nada. E como toda antissimétrica em \(\mathbb R^3\) é um produto vetorial, existe um vetor que faz o serviço: o vetor de Darboux

$$\vec\omega_{\text{Darboux}} = \tau\,\hat t + \kappa\,\hat b \qquad\Longrightarrow\qquad \frac{d\hat t}{ds} = \vec\omega\wedge\hat t,\quad \frac{d\hat n}{ds}=\vec\omega\wedge\hat n,\quad \frac{d\hat b}{ds}=\vec\omega\wedge\hat b$$

→ Complementos: em §C1 essa matriz é montada do zero e o Darboux é lido dela pela tabela "casa da matriz ↔ plano de giro", em vez de decorado.

Confira depois de tentar · o que há de especial no L2-1.4

Some \(y\) e \(z\) das equações dadas: \(y+z = 4\), constante. A trajetória mora no plano \(y+z=4\) — isso já responde o item (b) sem calcular torção nenhuma.

Mas tem mais. Meça a distância até o ponto \(C=(2,\sqrt2,4-\sqrt2)\): dá exatamente \(1\), para todo \(t\). E \(|\vec v| = 1\) constante, \(a_t = 0\), \(a_n = 1\), \(\rho = 1\). É movimento circular uniforme de raio 1 num plano inclinado — escrito em coordenadas cartesianas de um jeito que esconde isso. Reconhecer a figura por trás das equações é metade do trabalho.

Moral: antes de sair derivando, gaste 30 segundos procurando combinações lineares constantes e distâncias constantes. Elas revelam a geometria.

Na prática, você quase nunca tem \(s(t)\). Você tem \(\vec v\) e \(\vec a\) em coordenadas cartesianas. Então precisa extrair \(a_t\), \(a_n\), \(\rho\) e o triedro a partir desses dois vetores. Toda a mecânica disso é: produto escalar projeta, produto vetorial elimina o que é paralelo.

§3.1\(a_t\) — o produto escalar projeta

\(a_t\) é a componente de \(\vec a\) na direção \(\hat t = \vec v / v\). Projeção é produto escalar com o versor:

$$a_t = \vec a\cdot\hat t = \frac{\vec v\cdot\vec a}{v}$$

Mesma coisa por outro caminho, que vale conhecer: \(v = \sqrt{\vec v\cdot\vec v}\), então pela regra da cadeia \(\dot v = \dfrac{\vec v\cdot\dot{\vec v}}{\sqrt{\vec v\cdot\vec v}} = \dfrac{\vec v\cdot\vec a}{v}\). Os dois batem, como tinham que bater — \(a_t\) é \(\dot v\).

§3.2\(|\vec v \wedge \vec a| = v^3/\rho\) — a demonstração do L2-1.2

Este é literalmente um exercício da sua lista, e a demonstração tem duas linhas. Escreva os dois vetores na base intrínseca e cruze:

$$\vec v\wedge\vec a = (v\,\hat t)\wedge\Big(\dot v\,\hat t + \tfrac{v^2}{\rho}\,\hat n\Big) = \underbrace{v\dot v\,(\hat t\wedge\hat t)}_{=\,\vec 0} + \frac{v^3}{\rho}\,\underbrace{(\hat t\wedge\hat n)}_{=\,\hat b} = \frac{v^3}{\rho}\,\hat b$$

Tomando módulos e lembrando que \(v\gt0\) e \(\rho\gt0\):

$$\frac{|\vec v\wedge\vec a|}{v^3} = \frac{1}{\rho} = \kappa \qquad \blacksquare$$

O que o produto vetorial fez: ele matou a parte tangencial de \(\vec a\) (porque \(\hat t\wedge\hat t=\vec 0\)) e guardou só a parte que vira. É um filtro. Se você lembrar disso, não precisa lembrar a fórmula: "cruzar \(\vec v\) com \(\vec a\) apaga a aceleração e deixa a curvatura".

E de brinde, o cálculo acima entrega o binormal de graça, com sinal e tudo:

$$\hat b = \frac{\vec v\wedge\vec a}{|\vec v\wedge\vec a|}, \qquad \hat t = \frac{\vec v}{v}, \qquad \hat n = \hat b\wedge\hat t$$

Essa é a rota de cálculo. Você nunca precisa derivar \(\hat t\) na mão para achar \(\hat n\).

→ Complementos: "projetar" é aplicar a matriz \(\hat t\hat t^{\mathsf T}\), e as três fórmulas deste kit saem de uma conta só. Veja §D1.

§3.3O que sobra para guardar na cabeça

Tudo o mais se reconstrói. Se você esquecer \(|\vec v\wedge\vec a| = v^3/\rho\) no meio da prova, refaça as duas linhas do §3.2 — leva menos tempo do que tentar lembrar.

A coluna da direita é o L2-1.1 inteiro: dão \(|\vec v|=20\) m/s, \(|\vec a|=1{,}4\) m/s² e o ângulo entre eles na figura. Decompõe e acabou.

Confira depois de tentar · L2-1.3, e o truque escondido no enunciado

Com \(\vec r = (t^3/3,\;\tfrac{\sqrt2}{2}t^2,\;t)\):  \(\vec v = (t^2,\;\sqrt2\,t,\;1)\) e \(\vec a = (2t,\;\sqrt2,\;0)\).

Agora repare: \(|\vec v|^2 = t^4+2t^2+1 = (t^2+1)^2\). É quadrado perfeito — foi por isso que o enunciado escolheu \(\sqrt2/2\) e não outro número. Logo \(v = t^2+1\), limpo, e daí \(a_t = \dot v = 2t\).

\(\vec v\wedge\vec a = (-1,\;\sqrt2\,t,\;-t^2)\), cujo módulo é \(\sqrt{1+2t^2+t^4} = t^2+1\). Então \(a_n = (t^2+1)/(t^2+1) = \sqrt2\)… opa — confira você: o módulo do produto vetorial dá \(\sqrt{2}\,(t^2+1)\), e é isso que faz \(a_n=\sqrt2\) constante e \(\rho = v^3/|\vec v\wedge\vec a| = (t^2+1)^2/\sqrt2\).

Quando um enunciado tem \(\sqrt2/2\), \(1/3\) e outros coeficientes esquisitos, quase sempre é para alguma raiz sair exata. Procure o quadrado perfeito — ele confirma que você não errou a conta.

§4.1Duas bases móveis, dois propósitos diferentes

O triedro de Frenet segue a trajetória. A base cilíndrica segue a simetria do problema. São coisas diferentes e é muito comum confundi-las.

Pense no L2-1.5, o carro dentro do túnel. O vínculo do problema é "o ponto está na superfície de um cilindro de raio \(R\)". Em cartesianas isso vira \(y^2+z^2=R^2\) — uma equação chata que você carrega em todas as contas. Numa base adaptada ao cilindro, vira uma coordenada constante: \(r = R\). O trabalho algébrico simplesmente evapora.

§4.2As derivadas dos versores — é o Lema de novo

Com o eixo do cilindro na direção \(\hat\imath\) (como na figura do L2-1.5), defina o versor radial e o transversal:

$$\hat u = \sin\theta\,\hat\jmath + \cos\theta\,\hat k, \qquad \vec\tau = \frac{d\hat u}{d\theta} = \cos\theta\,\hat\jmath - \sin\theta\,\hat k$$

Derive no tempo, pela cadeia:

$$\dot{\hat u} = \dot\theta\,\vec\tau, \qquad \dot{\vec\tau} = -\dot\theta\,\hat u$$

Você pode decorar esse par. Mas não precisa: é o teorema do §1.3 com \(\vec\omega = \dot\theta\,\hat\imath\). Confira — \(\dot\theta\,\hat\imath\wedge\hat u = \dot\theta\,\vec\tau\) e \(\dot\theta\,\hat\imath\wedge\vec\tau = -\dot\theta\,\hat u\). A base cilíndrica é um triedro rígido girando em torno do eixo do cilindro com velocidade angular \(\dot\theta\). Só isso.

→ Complementos: a conta completa \(Q^{\mathsf T}\dot Q\) para esta base — em que todo seno e cosseno se cancela — está em §C2.

§4.3Velocidade e aceleração, e o Coriolis disfarçado

Posição genérica: \(\vec r = x\,\hat\imath + r\,\hat u\). Derive duas vezes usando a regra do produto e as derivadas acima:

$$\vec v = \dot x\,\hat\imath + \dot r\,\hat u + r\dot\theta\,\vec\tau$$ $$\vec a = \ddot x\,\hat\imath + \big(\ddot r - r\dot\theta^2\big)\hat u + \big(r\ddot\theta + 2\dot r\dot\theta\big)\vec\tau$$

Os quatro termos do plano têm nomes e origens distintas:

• \(\ddot r\) — você se afasta do eixo cada vez mais rápido. Óbvio.
• \(-r\dot\theta^2\) — centrípeta. Vem de derivar \(\vec\tau\); é o preço de girar.
• \(r\ddot\theta\) — de Euler. Você está girando mais rápido.
• \(2\dot r\dot\theta\) — Coriolis. Aparece duas vezes na derivação (uma de \(\frac{d}{dt}(\dot r\,\hat u)\), outra de \(\frac{d}{dt}(r\dot\theta\,\vec\tau)\)), e é por isso que tem o fator 2. Não é "uma força misteriosa": é a conta de que, ao se afastar do eixo enquanto gira, a sua velocidade transversal \(r\dot\theta\) tem que crescer e a sua direção radial tem que girar.

§4.4O túnel do L2-1.5, e a armadilha do \(\rho \ne R\)

O carro percorre uma hélice de passo constante num cilindro de raio \(R\). O único vínculo extra é que o ângulo de avanço \(\beta\) (entre a trajetória e o eixo do túnel) é constante — é isso que "não derrapa lateralmente" significa geometricamente.

O truque de visualização: desenrole o cilindro num plano. A hélice de passo constante vira uma reta, inclinada de \(\beta\) em relação ao eixo. Isso torna a relação entre avanço axial e avanço circunferencial imediata:

$$\tan\beta = \frac{\text{avanço circunferencial}}{\text{avanço axial}} = \frac{R\,\theta}{x} \qquad\Longrightarrow\qquad x = \frac{R(\theta-\theta_0)}{\tan\beta}$$

que é exatamente a resposta do item (a). Daí:

$$\vec v = R\dot\theta\left[\frac{1}{\tan\beta}\,\hat\imath + \vec\tau\right], \qquad v = \frac{R\dot\theta}{\sin\beta}, \qquad a_n = R\dot\theta^{\,2}$$

(\(a_n = R\dot\theta^2\) porque, com \(r=R\) constante, o único termo normal à trajetória é a centrípeta do giro.) Portanto

$$\rho = \frac{v^2}{a_n} = \frac{R^2\dot\theta^2/\sin^2\beta}{R\dot\theta^2} = \boxed{\;\frac{R}{\sin^2\beta}\;}$$

§5.1A pergunta que decide a rota

Todo exercício desta série cai numa de quatro caixas. A triagem leva 15 segundos:

§5.2Os quatro padrões, passo a passo

P-A · Decomposição num instante

1. Marque na figura o ângulo \(\varphi\) entre \(\vec v\) e \(\vec a\).
2. \(a_t = |\vec a|\cos\varphi\) — é a "taxa de aumento de velocidade" que o enunciado pede.
3. \(a_n = |\vec a|\sin\varphi\), sempre positivo.
4. \(\rho = v^2/a_n\).

Sanidade: se \(\vec a\) aponta "para a frente e para dentro", \(a_t\gt0\) (acelerando). Se aponta "para trás e para dentro", \(a_t\lt0\) (freando) — e \(a_n\) continua positivo nos dois casos.

P-B · Das paramétricas ao triedro

1. \(\vec v = \dot{\vec r}\), \(\vec a = \ddot{\vec r}\). Só isso, componente a componente.
2. \(v = |\vec v|\) — procure o quadrado perfeito; se não sair exato, provavelmente há erro de conta.
3. \(\hat t = \vec v/v\).
4. \(\vec v\wedge\vec a\). Daí saem, de uma vez: \(\hat b\) (normalizando), \(a_n = |\vec v\wedge\vec a|/v\) e \(\rho = v^3/|\vec v\wedge\vec a|\).
5. \(\hat n = \hat b\wedge\hat t\). Nunca derive \(\hat t\) na mão para achar \(\hat n\) — é o caminho mais longo e mais sujeito a erro.
6. \(a_t = (\vec v\cdot\vec a)/v\), ou simplesmente \(\dot v\) se você já tem \(v(t)\) limpo.
7. Checagem final: \(a_t^2 + a_n^2 = |\vec a|^2\). Se não fechar, o erro está antes.

P-C · Vínculo geométrico e base adaptada

1. Identifique a simetria: eixo de um cilindro, centro de um círculo. Escolha a base.
2. Escreva \((P-O)\) nessa base. O vínculo deve virar uma coordenada constante (\(r=R\)).
3. Escreva a segunda condição do enunciado (aqui: passo constante ⟹ \(\beta\) constante) como uma relação entre coordenadas. Desenrolar o cilindro ajuda a enxergá-la.
4. Derive usando \(\dot{\hat u} = \dot\theta\,\vec\tau\) e \(\dot{\vec\tau} = -\dot\theta\,\hat u\).
5. Para o triedro e \(\rho\), volte ao P-B — as fórmulas valem em qualquer base, desde que você seja consistente.

P-D · "Mostre que…"

1. Escreva \(\vec v\) e \(\vec a\) na base intrínseca: \(\vec v = v\hat t\), \(\vec a = \dot v\hat t + \frac{v^2}{\rho}\hat n\).
2. Faça a operação pedida simbolicamente. Os termos paralelos morrem sozinhos.
3. Se aparecer "módulo constante", derive o produto escalar do vetor consigo mesmo (o Lema).

Praticamente todas as demonstrações da Lista 2 — incluindo o L2-2.3 e o L2-2.4 lá na Série 2 — caem nesses três passos.

§5.3As armadilhas que mais custam nota

§5.4Quatro checagens que pegam quase todo erro

• Pitágoras: \(a_t^2+a_n^2 = |\vec a|^2\).
• Ortonormalidade: \(\hat t\cdot\hat n = \hat n\cdot\hat b = \hat b\cdot\hat t = 0\) e os três com módulo 1. Leva 20 segundos e pega erro de sinal.
• Dimensional: \([\kappa] = \text{m}^{-1}\), \([\rho]=\text{m}\), \([a_n]=\text{m/s}^2\). Se seu \(\rho\) tem segundo na unidade, tem erro.
• Limites: mande um parâmetro para o extremo e veja se o resultado vira o caso conhecido (\(\beta\to90^\circ\Rightarrow\rho\to R\); \(\kappa\to0\Rightarrow\rho\to\infty\)).

Recomendação honesta: não saia colecionando material. Use um livro como referência, um conjunto de animações para intuição, e venha discutir comigo o que não fechar. Abaixo, o que vale a pena, com a função de cada um.

O guia foi escrito para virar conversa. Algumas formas de pergunta que rendem muito mais que "não entendi":

• Pelo código: "o §2.7 — por que a matriz tem \(\kappa\) em cima e \(-\kappa\) embaixo?"
• Pedindo o inverso: "me dá um exercício em que o P-B falha e preciso do P-C."
• Mudando um parâmetro: "e se no L2-1.5 o passo não fosse constante?"
• Pedindo para eu te arguir: "me faz três perguntas do §4 e corrige minhas respostas." — este é o que mais funciona, porque você quer conseguir explicar, não só reconhecer.
• Trazendo a sua conta: cole o que você fez e onde travou. Corrigir o seu raciocínio vale dez vezes mais do que ler o meu.

Se as quatro saírem redondas, o Módulo 1 está fechado e a gente parte para a Série 2 — campo de velocidades do corpo rígido, onde o \(\vec\omega\) deixa de ser um acessório do triedro e vira o personagem principal. É só me chamar.

→ Antes disso, se você quiser entrar na Série 2 com a maquinaria já montada, o caminho é os Complementos §B. Lá a fórmula \(\vec v_B = \vec v_A + \vec\omega\wedge(B-A)\) já está deduzida em três linhas — §C3.